数学新导学笔记人教A选修23讲义第一章 计数原理习题课 二项式定理Word下载.docx

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C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法．

类型一　二项式定理的灵活应用

例1　

（1）（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数是（　　）

A．－4B．－3C．3D．4

（2）已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.

考点　二项展开式中的特定项问题

题点　求多项展开式中特定项的系数

答案　

（1）B　

（2）－1

解析　

（1）方法一　（1－）6的展开式的通项为C·

（－）m＝C（－1）m，（1＋）4的展开式的通项为C（）n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.

令＋＝1，得m＋n＝2，于是（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数等于C·

（－1）0·

C＋C·

（－1）1·

（－1）2·

C＝－3.

方法二　（1－）6（1＋）4＝[（1－）（1＋）]4（1－）2＝（1－x）4（1－2＋x），于是（1－）6（1＋）4的展开式中x的系数为C·

1＋C·

1＝－3.

（2）（1＋ax）（1＋x）5＝（1＋x）5＋ax（1＋x）5.

∴x2的系数为C＋aC，

则10＋5a＝5，解得a＝－1.

反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题

（1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

（2）找到构成展开式中特定项的组成部分．

（3）分别求解再相乘，求和即得．

跟踪训练1　

（1）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为（　　）

A．－40B．－20C．20D．40

（2）在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝________.

答案　

（1）D　

（2）120

解析　

（1）令x＝1，得（1＋a）（2－1）5＝2，∴a＝1，

故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和．

5的展开式的通项为Tk＋1＝（－1）kC25－kx5－2k，

令5－2k＝1，得k＝2，

∴展开式中x的系数为C×

25－2×

（－1）2＝80，

令5－2k＝－1，得k＝3，

∴展开式中的系数为C×

25－3×

（－1）3＝－40，

∴5的展开式中常数项为80－40＝40.

（2）f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.

例2　5的展开式中的常数项是________．

题点　求多项展开式中的特定项

答案　

解析　方法一　原式＝5，

∴展开式的通项为＝（k1＝0,1,2，…，5）．

当k1＝5时，T6＝（）5＝4，

当0≤k1<

5时，的展开式的通项公式为

＝＝·

（k2＝0,1,2，…，5－k1）．

令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.

∵0≤k1<

5且k1∈Z，∴或

∴常数项为4＋CC2＋CC×

（）3

＝4＋＋20＝.

方法二　原式＝5＝·

[（x＋）2]5

＝·

（x＋）10.

求原式的展开式中的常数项，转化为求（x＋）10的展开式中含x5项的系数，即C·

（）5.

∴所求的常数项为＝.

反思与感悟　三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．

跟踪训练2　（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为________．

答案　30

解析　方法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·

y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·

x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.

方法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.

例3　今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（　　）

A．一B．二C．三D．四

考点　二项式定理的综合应用

题点　整除和余数问题

答案　A

解析　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．

因为810＝（7＋1）10＝710＋C×

79＋…＋C×

7＋1＝7M＋1（M∈N*），

所以第810天相当于第1天，故为星期一．

反思与感悟　

（1）利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面（或前面）一、二项就可以了．

（2）解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．

跟踪训练3　设a∈Z，且0≤a<

13，若512017＋a能被13整除，则a＝________.

答案　1

解析　∵512017＋a＝（52－1）2017＋a＝C522017－C522016＋C522015－…＋C521－1＋a，

能被13整除，0≤a<

13.

故－1＋a能被13整除，故a＝1.

类型二　二项式系数的综合应用

例4　已知n.

（1）若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

（2）若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．

考点　展开式中系数最大（小）的项问题

题点　求展开式中系数最大（小）的项

解　

（1）由已知得2C＝C＋C，

即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.

当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，

∵T4＝C4（2x）3＝x3，T5＝C3（2x）4＝70x4，

∴第四项的系数是，第五项的系数是70.

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C7×

27＝3432.

（2）由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0.

得n＝－13（舍去）或n＝12.

设Tk＋1项的系数最大，

∵12＝12（1＋4x）12，

由

解得9.4≤k≤10.4.

∵0≤k≤n，k∈N，

∴k＝10.

∴展开式中系数最大的项是第11项，

即T11＝12·

C·

410·

x10＝16896x10.

反思与感悟　解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．

跟踪训练4　已知n展开式中二项式系数之和比（2x＋xlgx）2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1120，求x.

考点　二项式定理的应用

题点　二项式定理的简单应用

解　依题意得2n－22n－1＝－112，

整理得（2n－16）（2n＋14）＝0，解得n＝4，

所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．

依题意得C（2x）4（xlgx）4＝1120，

化简得x4（1＋lgx）＝1，

所以x＝1或4（1＋lgx）＝0，

故所求x的值为1或.

1．在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　）

A．30B．20

C．15D．10

题点　求二项展开式特定项的系数

答案　C

解析　因为（1＋x）6的展开式的第（k＋1）项为Tk＋1＝Cxk，x（1＋x）6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.

2．在（x＋y）n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（　　）

A．第6项B．第5项

C．第5、6项D．第6、7项

题点　求二项式系数最大（小）的项

解析　∵C＝C，∴n＝3＋7＝10，

∴展开式中系数最大的项是第6项．

3．已知x>

0，则（1＋x）1010的展开式中的常数项为（　　）

A．1B．（C）2

C．CD．C

答案　D

解析　（1＋x）1010＝10＝10＝20.设其展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1＝Cx10－k，当k＝10时，为常数项．故选D.

4．当n为正奇数时，7n＋C·

7n－1＋C·

7n－2＋…＋C·

7被9除所得的余数是（　　）

A．0B．2C．7D．8

解析　原式＝（7＋1）n－C＝8n－1＝（9－1）n－1＝9n－C·

9n－1＋C·

9n－2－…＋C·

9（－1）n－1＋（－1）n－1.因为n为正奇数，所以（－1）n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.

5．设（2－1）n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M,8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为________．

考点　展开式中系数的和问题

题点　二项展开式中系数的和问题

答案　－160x

解析　当x＝1时，可得M＝1，二项式系数之和N＝2n，

由题意，得M·

N＝64，∴2n＝64，∴n＝6.

∴第四项T4＝C·

（2）3·

（－1）3＝－160x.

1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题

2．三项或三项以上的展开问题

应根据式子的特点，转化为二项式来解决（有些题目也可转化为计数问题解决），转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．

3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了．

4．求二项展开式中各项系数的和差：

赋值代入．

5．确定二项展开式中的最大或最小项：

利用二项式系数的性质．

一、选择题

1．二项式12的展开式中的常数项是（　　）

A．第7项B．第8项

C．第9项D．第10项

题点　求二项展开式的特定项

解析　二项展开式中的通项公式为Tk＋1＝C·

x12－k·

k＝C·

2k·

，令12－k＝0，得k＝8.

∴常数项为第9项．

2．（1＋x）8（1＋y）4的展开式中x2y2的系数是（　　）

A．56B．84C．112D．168

解析　因为（1＋x）8的通项为Cxk，（1＋y）4的通项为Cyt，故（1＋x）8（1＋y）4的通项为CCxkyt.

令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.

3．若（x＋3y）n的展开式中所有项的系数的和等于（7a＋b）10的展开式中二