最新116空间直角坐标系及两点间的距离汇总Word文件下载.docx

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[例2]已知球心C（1，1，2），球的一条直径的一个端点为A（－1，2，2），求该球的表面积及该直径的另一个端点的坐标。

[例3]如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，已知C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），

（1）求面对角线的长度；

z

y

x

（C）

o

B

A

C1

B1

A1

（2）该三棱柱是否有外接球？

若有，求出球的方程，若没有，说明理由．

[例4]在三棱锥A—BCD中，AC=AB=DC=DB=2，AD=BC=1，求该三棱锥的体积．

【课内练习】

1．在空间直角坐标系中，点（1，－1，2）关于y轴的对称点的坐标是（）

A．（1，－1，2）Ｂ．（－1，1，2）Ｃ．（－1，－1，－2）Ｄ．（－1，1，－2）

2．点M（－2，4，5）在xoy平面，yoz平面，xoz平面上的射影分别是（）

A．（0，4，5），（－2，0，5），（－2，4，0）

B．（－2，4，0），（0，4，5），（－2，0，5）

C．（－2，0，5），（－2，4，0），（0，4，5）

D．（0，4，0），（－2，0，0），（0，4，0）

3．在空间直角坐标系中，线段AB的中垂面是yoz平面，点A（1，2，3），则点B的坐标是（）

A．（－1，2，3）B．（1，－2，3）C．（1，2，－3）D．（1，－2，－3）

4．在xoy平面内，到点（1，－1，2）距离等于3的点的轨迹是（）

A．一点B．一条直线C．两条平行线D．一个圆

5．点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是．6．已知两点A（0，－2，3），B（2，1，x），|AB|=5，则x等于．

7．在y轴上任意一点M到点N（－2，1，3）距离的最小值是．

8．已知三点A（－1，1，2），B（1，2，－1），C（a，0，3），这三点能共线吗？

若能共线，求出a的值；

若不能共线，说明理由．

9．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，部分顶点的坐标分别是

A（－1，－1，－1）B（－1，3，－1）C（4，3，－1）A1（－1，－1，3）

求C1、D1点的坐标．

10．对于任意实数x、y、z，求的最小值．

A组

1．在空间直角坐标系中，点（2，－1，0）关于yoz平面的对称点的坐标是（）

A．（2，－1，0）Ｂ．（－2，1，0）Ｃ．（－2，－1，0）Ｄ．（2，1，0）

2．已知点A（1，2，3），B（x,y,z），若线段AB与xoz平面平行，则一定有（）

A．x=1B．y=2C．z=3D．x=1且z=3

3．点（a,b,c）与点（－a,－b,c）一定关于（）

A．x轴对称B．yx轴对称C．z轴对称D．平面xoy对称

4．在z轴上到两点A（－4，1，7），B（3，5，－2）距离相等的点是．

5．点A（－2，1，－3）到x轴的距离是．

6．试利用空间两点间距离公式，求底面边长为1，高为1，的正六棱柱的对角线的长．

7．已知P（1，0，0）、Q（0，0，1）、R（0，1，0）、S（1，1，1，），求以点PQRS为顶点的三棱锥的外接球的方程．

8．已知点A（1，1，0），对于oz轴正半轴上任意一点P，在oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？

若存在，求出B点的坐标；

若不存在，说明理由．

B组

1．在空间直角坐标系中，点（3，－4，5）关于原点的对称点的坐标是（）

A．（3，4，－5）Ｂ．（－3，4，5）Ｃ．（3，4，5）Ｄ．（－3，4，－5）

2．在空间，所有到定点M的距离等于1的点构成（）

A．两个点B．一条直线C．一个平面D．一个球面

3．在空间，方程y=2的几何意义是（）

A．一条直线B．一个平行于y轴的平面

C．一个垂直于y轴的平面D．一个球面

4．点（3，－4，－5）到xoy平面的距离是．

5．已知两球的方程分别为：

（x－2）2＋（y－1）2＋（z＋1）2=4,（x－4）2＋y2＋（z＋1）2=1,那么这两球的位置关系是．

6．已知三角形三个顶点A（1，－2，－3），B（－1，－1，－1），C（0，0，－5）．求证：

△ABC为直角三角形．

7．若平面α经过线段AB的中点，且线段AB⊥平面α，则称α是线段AB的中垂面．若已知A（－1，0，2），B（3，2，0），求线段AB的中垂面与oz轴的交点坐标．

8．若球（x－1）2＋（y＋2）2＋（z＋1）2=9被平面z=a所截圆的面积大于π，求实数a的取值范围．

[例1]

（1）A．提示：

点（a,b,c）关于x轴的对称点是（a,－b,－c）．

（2）A．提示：

|AO|＋|BO|=|AB|．

（3）B．提示：

（x1,y1,z1）与（x2,y2,z2）中，x1=x2．

（4）（5，－8，17）．提示：

用中点坐标公式．

（5）x=0．提示：

所求点集是yoz平面．

例2、因直径两端点关于球心对称，设另一端点的坐标为（x,y,z）则

=1，x=3；

=1，y=0；

=2，y=2．

故直径的另一个端点的坐标为（3，0，2）

球的半径r2=（1＋1）2＋（1－2）2＋（2－2）2=5

球的面积为20π．

.

例3、

（1）由题知直三棱柱ABC—A1B1C1中，C（0，0，0）A1（0，1，1），B（1，0，0），得A（0，1，0），B1（1，0，1），C1（0，0，1）

由两点间的距离公式知，面对角线A1B与AB1的长为

面对角线A1C与AC1及BC1与B1C的长均为

（2）解法一记A1B与AB1交点为E，A1C与AC1交点为F，在△A1BC中，EF∥BC，而BC⊥面A1CAC1，∴EF⊥面A1CAC1，四边形A1CAC1为矩形，直线EF上的任意一点到A1、C、A、C1距离相等；

又∵四边形AA1B1B为矩形，E到A、A1、B1、B四点距离相等

∴E点到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在E点。

由于E点是线段A1B的中点，故E点的坐标为（，，），球的半径r=

球的方程为（x－）2＋（y－）2＋（z－）2=

（2）到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y=,z=．

设存在球心P（x，，）则必有PA=PB

解之得：

x=

易验证点P到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在P（，，）。

球的半径r=A1B=

解法三同解法二，到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y=,z=．同理，到B1、B、C、C1四点距离相等的点，一定在过A1B与AB1交点且与面AA1B1B垂直的直线上，该直线上的点满足x=,z=．综合得，球心为P（，，）（下略）

例4、以点A为原点，面ABC所在平面为xoy面，将AB置于ox轴正半轴上，建立空间直角坐标系，如图．

D

C

AC=AB=2，BC=1，易求得S△ABC=×

1×

=

A（0，0，0），B（2，0，0）C（，，0）

设D（x,y,z）

由DA=1得x2＋y2＋z2=1①

由DC=2，得（x－）2＋（y－）2＋z2=4②

由DB=2，得（x－2）2＋y2＋z2=4③

由①③得－4x＋4=3x=④

将①④代入②得1－x＋＋－y=4

y=⑤

将④⑤代入①得＋＋z2=1

z2=z=±

∴D点到平面ACB的距离为．

1．C．提示：

点（a,b,c）关于y轴的对称点是（－a,b,－c）．

2．B．提示：

xoy平面内的点，z=0．

3．A．提示：

相当于求点关于平面的对称点坐标．

4．D．提示：

联想圆锥．

5．（－4，1，－2）．提示：

点（a,b,c）关于原点的对称点是（－a,－b,－c）．

6．3±

2．提示：

用两点间距离公式，解方程．

7．．提示：

联想长方体．

8．不能共线．提示：

数形结合知，若ABC三点共线，则CA＋AB=CB，将坐标代入后，方程无解．

9．C1（4，3，3）D1（4，－1，3）．提示：

C1点与C有相同的x，与B有相同的y，与A1有相同的z．D1点与A1有相同的y和z，与C有相同的x．

10．提示：

原表达式是空间点（x,y,z）到（0，0，0）的距离与到（－1，2，1）的距离之和，最小值即线段的长．

点（a,b,c）关于yoz平面的对称点是（－a,b,c）．

数形结合，画出一个长方体看一看．

3．C．提示：

取一个特殊数据，画图看规律．

4．（0，0，）．提示：

设出点的坐标，用两点间距离公式建立方程．

5．．提示：

先求A点在x轴上的射影．

6．2，．提示：

建立直角坐标系，确定各点的坐标，用两点间的距离公式．

7．（x－）2＋（y－）2＋（z－）2=,提示：

以PQRS四点为顶点构造一个正方体运算最方便．

8．存在B（0，1，0）．提示：

设点P、B的坐标，用勾股定理，或用三垂线定理．

1．D．提示：

点（a,b,c）关于原点的对称点是（－a,－b,－c）．

2．D．提示：

类比平面上圆的定义．

画张图观察．

4．5．提示：

所求距离是|－5|=5．

5．相切．提示：

球的方程揭示了动点到定点的距离等于定长，定点即球心，定长即半径，我们用两点间距离公式，判断两球心之间的距离与半径之和的大小关系．

6．提示：

证明两边长的平方和等于第三边长的平方．

7．（0，0，－2）提示：

平面上的点构成的集合是空间到线段两端点距离相等的点的集合，依据这一性质列方程并化简，可得平面的方程，求交点时只须令x=0，y=0．

8．－4＜a＜2,提示：

球心（1，－2，－1）到z=a的距离为∣a＋1∣,球的半径为3，若平面与球相交，截面圆半径为，由题知π[9－（a＋1）2]＞π,解之即得．

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