版两角和与差正弦余弦和正切公式文档格式.docx
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（3）公式的逆用：
①1±
sin2α＝（sinα±
cosα）2；
②sinα±
cosα＝sin.
4．辅助角公式
asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）.
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）存在实数α，β，使等式sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立．（ ）
（2）在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．（ ）
（3）公式tan（α＋β）＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ），且对任意角α，β都成立．（ ）
（4）公式asinx＋bcosx＝sin（x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（ ）
[答案]
（1）√
（2）×
（3）×
（4）×
2．（教材改编）sin20°
cos10°
－cos160°
sin10°
＝（ ）
A．－ B.
C．－ D.
D [sin20°
＝sin20°
＋cos20°
＝sin（20°
＋10°
）＝sin30°
＝，故选D.]
3．（2016·
全国卷Ⅲ）若tanθ＝－，则cos2θ＝（ ）
A．－B．－
C.D.
D [∵cos2θ＝＝.
又∵tanθ＝－，∴cos2θ＝＝.]
4．（2017·
云南二次统一检测）函数f（x）＝sinx＋cosx的最小值为________．
－2 [函数f（x）＝2sin的最小值是－2.]
5．若锐角α，β满足（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝________.
[由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，
可得＝，即tan（α＋β）＝.
又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.]
三角函数式的化简
（1）化简：
＝________.
（2）化简：
.
（1）2cosα [原式＝＝2cosα.]
（2）原式＝
＝＝＝cos2x.
[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
[变式训练1] 化简sin2＋sin2－sin2α＝________.
[法一：
原式＝＋－sin2α
＝1－－sin2α＝1－cos2α·
cos－sin2α＝1－－＝.
法二：
令α＝0，则原式＝＋＝.]
三角函数式的求值
角度1 给角求值
（1）＝（ ）
A.B.
（2）sin50°
（1＋tan10°
）＝________.
（1）C
（2）1 [
（1）原式＝＝
＝＝.
）
＝sin50°
×
＝＝＝＝1.]
角度2 给值求值
（1）（2016·
全国卷Ⅱ）若cos＝，则sin2α＝（ ）
C．－D．－
（2）（2016·
安徽十校联考）已知α为锐角，且7sinα＝2cos2α，则sin＝
（ ）
（1）D
（2）A [
（1）∵cos＝，
∴sin2α＝cos＝cos2＝2cos2－1＝2×
－1＝－.
（2）由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2（1－2sin2α），即4sin2α＋7sinα－2＝0，∴sinα＝－2（舍去）或sinα＝.∵α为锐角，∴cosα＝，∴sin＝×
＋×
＝，故选A.]
角度3 给值求角
已知sinα＝，sin（α－β）＝－，α，β均为锐角，则角β等于（ ）
C [∵α，β均为锐角，∴－＜α－β＜.
又sin（α－β）＝－，∴cos（α－β）＝.
又sinα＝，∴cosα＝，
∴sinβ＝sin[α－（α－β）]
＝sinαcos（α－β）－cosαsin（α－β）
＝×
－×
＝.
∴β＝.]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．
2．“给值求值”：
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3．“给值求角”：
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
三角变换的简单应用
已知函数f（x）＝sin2x－sin2，x∈R.
【导学号：
31222124】
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
[解]
（1）由已知，有
f（x）＝－
＝－cos2x
＝sin2x－cos2x＝sin.
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.5分
（2）因为f（x）在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
且f＝－，f＝－，f＝，
所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.12分
[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：
变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；
注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
[变式训练2]
（1）（2016·
山东高考）函数f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）的最小正周期是（ ）
A.B．π
C.D．2π
（2）（2014·
全国卷Ⅱ）函数f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx的最大值为________．
（1）B
（2）1 [
（1）法一：
∵f（x）＝（sinx＋cosx）（cosx－sinx）
＝4
＝4sincos＝2sin，
∴T＝＝π.
＝3sinxcosx＋cos2x－sin2x－sinxcosx
＝sin2x＋cos2x
＝2sin，
∴T＝＝π.故选B.
（2）f（x）＝sin（x＋φ）－2sinφcosx
＝sinxcosφ＋cosxsinφ－2sinφcosx
＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin（x－φ）．
∴f（x）max＝1.]
[思想与方法]
三角恒等变换的三种变换角度
（1）变角：
设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：
2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，β＝－，＝－.
（2）变名：
尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．
（3）变式：
对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．
[易错与防范]
1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；
否则，若角的范围是（0，π），选余弦较好；
若角的范围为，选正弦较好．
2．计算形如y＝sin（ωx＋φ），x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．
课时分层训练（二十一）
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
A组 基础达标
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．已知sin2α＝，则cos2等于（ ）
31222125】
A. B.
C. D.
A [因为cos2＝
＝＝＝＝，故选A.]
2.等于（ ）
A．－B.
C.D．1
C [原式＝
＝＝＝.]
3．（2017·
杭州二次质检）函数f（x）＝3sincos＋4cos2（x∈R）的最大值等于
A．5B.
C.D．2
B [由题意知f（x）＝sinx＋4×
＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝，故选B.]
4．（2016·
福建师大附中月考）若sin＝，则cos＝（ ）
A．－B．－
A [cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.]
5．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于（ ）
31222126】
D [依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β）＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
故cos（α－β）＝＝，
而cosα＝，∴sinα＝，
于是sinβ＝sin[α－（α－β）]
＝.故β＝.]
二、填空题
6.________.
[＝
7．（2016·
吉林东北师大附中等校联考）已知0＜θ＜π，tan＝，那么sinθ＋cosθ＝________.
－ [由tan＝＝，解得tanθ＝－，即＝－，∴cosθ＝－sinθ，
∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.
∵0＜θ＜π，∴sinθ＝，∴cosθ＝－，∴sinθ＋cosθ＝－.]
8．化简＋2＝________.
31222127】
－2sin4 [＋2
＝＋2
＝－2cos4＋2（cos4－sin4）＝－2sin4.]
三、解答题
9．已知α∈，且sin＋cos＝.
（1）求cosα的值；
（2）若sin（α－β）＝－，β∈，求cosβ的值．
[解]
（1）因为sin＋cos＝，两边同时平方，得sinα＝.又＜α＜π，所以cosα＝－.5分
（2）因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.7分
又sin（α－β）＝－，得cos（α－β）＝.
cosβ＝cos[α－（α－β）]＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）
＝－×
＝－.12分
10．已知函数f（x）
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