微分中值定理教案Word格式.doc
《微分中值定理教案Word格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分中值定理教案Word格式.doc(4页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一、背景及回顾
在前面,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具。
另一方面,我们注意到:
(1)函数与其导数是两个不同的函数;
(2)导数只是反映函数在一点的局部特征;
(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理,我们简单回忆一下罗尔定理的内容:
若函数满足下列条件:
①在闭区间连续
②在开区间可导
③
则在内至少存在一点c,使得
二、新课讲解
1797年,法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理,史称拉格朗日中值定理或微分中值定理,但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性,在分析中是许多定理赖以证明的工具,是导数若干个应用的理论基础,我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容:
2.1拉格朗日定理
若函数满足下列条件:
则在开区间内至少存在一点c,使
注:
a、深刻认识定理,是两个条件,而罗尔定理是三个条件。
b、若加上,则即:
,拉格朗日定理变为罗尔定理,换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
c、形象认识(几何意义),易知为过A、B两点的割线的
斜率,为曲线上过c点的切线的斜率;
若即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义:
若在闭区间上有一条连续的曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少有一点,使得过点的切线平行于割线AB。
它表明“一个可微函数的曲线段,必有一点的切线平行于曲线端点的弦。
”
2.2拉格朗日定理的证明
下面我们证明一下该定理。
分析:
如何来证明该定理呢?
由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例,我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来,为此需要构造一个辅助函数,使他满足罗尔定理的条件。
注意罗尔定理的结果是,对应拉格朗日定理的结果是,即,实际上就是,即是说,两边积分得,注意要满足罗尔定理的三个条件,故取
证明:
作辅助函数,易知在闭区间连续,在开区间可导,又,根据罗尔定理,在内至少存在一点c,使得,而,于是,即
,命题得证。
a、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范;
同时通过巧妙地数学变换,将一般化为特殊,将复杂问题化为简单问题的论证思想,也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现,其中构造函数中的其实就是过两点A、B两点的割线方程。
b、拉格朗日中值定理的中值点c是开区间(a,b)内的某一点,而非区间内的任意点或指定一点。
换言之,这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c的存在性,而非”定量“地指明c的具体数值。
c、拉格朗日中值定理的其他表达形式:
(1)
(2)
2.3拉格朗日定理的应用
例1:
验证函数-在区间[0,2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件,若满足,求使定理成立的的值.
解:
因,在上连续,在内可导,满足定理的条件。
而
由得
,
注在验证拉格朗日中值定理时,必须注意:
(1)该函数是否满足定理的两个条件。
(2)是否存在一点∈(a,b),使成立.
例2
此题难以下手,由此考虑到使用拉格朗日中值定理。
设
易知在上满足拉格朗日中值定理的条件
故,
又,,有上式得:
又,
则,,即,命题得证。
小结:
用拉格朗日中值定理证明不等式,关键是选取适当的函数,并且该函数满足中值定理的条件。
便得到,再根据放大或缩小,证出不等式。
推论1 如果在区间内的导数恒等于零,那么在内恒等于一个常数.(证明作为课外作业)
证:
在区间内任意取两点,(设),则在上满足拉格朗日中值定理条件.故有
,
由于,所以,即
.
由于,是在内任意取的两点,因此在区间内函数值总是相等的,这表明在区间内恒为一个常数.
推论2 若有,则有.(证明作为课外作业)
,,根据推论1知,即.
三、小结
1、拉格朗日定理的内容
2、拉格朗日定理的几何意义
3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法
4、拉格朗日定理的应用
微分学基本定理
1、极值点的概念
定义:
设函数在区间上有定义。
若,且存在的某邻域,有
()
则称是函数的极大点(极小点),是函数的极大值(极小值)。
2、费马定理
设函数在区间上有定义。
若函数在点可导,且是函数的极值点,则
3、罗尔定理
4、拉格朗日定理
5、柯西中值定理
若函数和满足下列条件:
②在开区间可导,且,有,则在内至少存在一点c,使得