导数及其应用教案文档格式.doc

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二、知识探究

探究一：

气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

n气球的体积V（单位:

L）与半径r（单位:

dm）之间的函数关系是

n如果将半径r表示为体积V的函数,那么

⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

探究二：

高台跳水：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位：

m）与起跳后的时间t（单位：

s）存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

h

t

o

思考计算：

和的平均速度

在这段时间里，；

在这段时间里，

探究：

计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：

如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

探究（三）：

平均变化率

1、平均变化率概念：

上述问题中的变化率可用式子表示,

称为函数f（x）从x1到x2的平均变化率

2．若设,（这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样）

则平均变化率为

y

x1

O

f（x1）

f（x2）

y=f（x）

观察函数f（x）的图象：

平均变化率表示什么?

△x=x2-x1

△y=f（x2）-f（x1）

直线AB的斜率

x2

x

3、函数f（x）从x0到x0＋△x的平均变化率怎么表示？

三、典例分析

例1．已知函数f（x）=的图象上的一点及临近一点,则．

解：

，

∴

例2、求在附近的平均变化率。

，所以

所以在附近的平均变化率为

例3、求函数y＝5x2＋6在区间[2，2＋△x]内的平均变化率

1.7

8

例4、某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.

略

四．课堂练习

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．

2.物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1，1）和Q（1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

课后记:

课题:

导数的概念

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

导数的概念．

一、复习引入

1、函数平均变化率：

2、函数平均变化率的几何意义：

表示曲线上两点连线（割线）的斜率

3、在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。

1、引例：

如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

2、．瞬时速度：

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？

比如，时的瞬时速度是多少？

考察附近的情况：

①、思考：

当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？

②、结论：

当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．

③、从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是

④、为了表述方便，我们用表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”

⑤、小结：

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3、导数的概念：

函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在出的导数，记作或，

即

说明：

（1）导数即为函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率

（2），当时，，所以

4、一般地，求函数f（x）在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？

第一步，求函数值增量：

△y＝f（x＋△x）－f（x0）；

第二步，求平均变化率：

第三步，取极限，求导数：

5、常见结论：

（1）

（2）

（3）（4）

例1．

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

分析：

先求Δy=f（１＋Δx）-f（１）=6Δx+（Δx）2

再求再求

法一（略）

法二：

（2）求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：

）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和

根据导数定义，

所以

同理可得:

在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．

注：

一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．

2．求曲线y=f（x）=x3在时的导数．

3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

导数的几何意义

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

导数的几何意义．

一．复习引入

1、函数f（x）在x＝x0处的导数的含义是什么？

2、求函数f（x）在x＝x0处的导数有哪几个基本步骤？

3、导数f′（x0）表示函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.

二．知识探究

1、曲线的切线及切线的斜率：

如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？

图3.1-2

我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：

⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率为多少？

容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即

⑴、设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念：

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在处的导数.

⑵、曲线在某点处的切线：

①、与该点的位置有关；

②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。

如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的；

如不存在,则在此点处无切线；

③、曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

2、导数的几何意义：

函数y=f（x）在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，

即：

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①、求出P点的坐标;

②、求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；

③、利用点斜式求切线方程.

探究二；

导函数概念：

1、导函数定义：

由函数f（x）在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f（x）的导函数.记作：

或，

即:

在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

2、函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数

3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一。

三．典例分析

例1:

（1）求曲线y=f（x）=x2+1在点P（1,2）处的切线方程.

（2）求函数y=3x2在点处的导数.

（1）,

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即

（2）因为

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即

练习：

求函数f（x）=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．

我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度（单位：

）随时间（单位：

）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利