大学解析几何Word文件下载.docx
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b2
b3
5、
（1）a//b
a
b
a〔a2
b1b2
（2）ab
a〔b〔a2b?
a3b30
二、平面
1平面的点法式方程
已知平面过点P（x0,y0,z0），且法向量为n（A,B,C）,则平面方程为
A（x
X。
）B（yyo）C（zz°
）0
法向量为n
（A,B,C）垂直于平面
2、平面的一般方程
AxByCzD0，其中法向量为n（A,B,C）
3、
（1）平面过原点
（0,0,0）AxByCz0
（2）平面与x轴平行（
、与yoz面垂直）
法向量n垂直于x轴
By
CzD0
（如果D0，
则平面过x轴）
平面与y轴平行（
与xoz面垂直）
法向量n垂直于y轴
Ax
则平面过y轴）
平面与z轴平行（与
xoy面垂直）法向量n垂直于z轴AxByD0
（如果D0,则平面过z轴）
（3）平面与
xoy面平行
法向量n垂直于xoy面
Cz
D0
平面与
xoz面平行
法向量n垂直于xoz面
yoz面平行
法向量n垂直于yoz面
法向量的表示
三、直线
1直线的对称式方程
方向向量V（V1，V2,V3）和直线平行
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20的交线
xx0v1t
3、直线的参数方程yyoV2t
zZoV3t
1、设柱面的准线方程为f1（x,y,z）0，母线的方向向量v（v1,v2,v3），求柱面方程
f2（x,y,z）0
方法：
在准线上任取一点M（X1,y「乙），则过点M（x「％,zj的母线为
xx1
v1
又因为“（x^y^zj在准线上，故
xXiyyizZi
1
O
即x1
Xt,y1y,Z1z
t
（1）
又因为
M（X1,y1,Z1）在准线上,
故
2222^22^
X1y1Z11
（2），2X12y1Z12（3）
由
（1）
（2）（3）得x2y2
2z
2xz1O
2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径
在圆柱面上任取一点Mo（x0,y0,zo），过Mo（X0,yo,Z0）点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴
的交点Mi（Xi，yi，zJ，则|M°
Mi|为圆柱的半径
例2:
已知圆柱面的轴为x，点Mi（i，-2，i）在此圆柱面上，求这个圆
122
柱面的方程。
解：
设圆柱面上任取一点Mo（x0,y0,zo），过点Mo（X0,yo,Z0）且垂直于轴的平面为
（xXo）2（yyo）2（zz°
轴方程的参数式为xt,y12t,z12t代入平面方程得
tXo2yo2zo
9
故该平面和轴的交点为（X。
2yo字匚2^4yo4z。
，9巩4yo4z°
）
999
j-115
过点Mr（1，-2,1）和轴垂直的平面和轴的交点为（一，，）
1333
因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得
222
8x5y5z4xy4xz8yz18y18z99O
也可找圆柱面的准线圆处理
例3:
求以直线x=y=z为对称轴，半径R=1的圆柱面方程
在圆柱面上任取一点Mo（xo,yo,zo），过点Mo（xo,yo,zo）且垂直于轴的平面为
XoyoZo
3
yoZoXoyoZoXoyoz°
3，3，3
则M0Mj的长等于半径R=1
故利用距离公式得
、锥面
锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。
这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。
1、设锥面的准线为fl（X，y，z）°
，顶点为Mo（Xo，yo，z。
），求锥面方程
f2（x,y,z）o
在准线上任取一点Mi（%,yi,Zi），则过点Mi（%,yi,Zi）的母线为
锥面方程
22
xyi
例i锥面的顶点在原点，且准线为a2b?
i，求这锥面方程。
zc
在准线上任取一点
Mi（Xi,yi,Zi），则过点
Mi（Xi,yi,Zi）的母线为
x
Xi
y
yi
z
Zi
又因为M（xi,yi，Zi）在准线上，故
2
在母线上任取一点M（x,y,z），则过该点的母线的方向向量为
n（xx°
yyo,zz°
利用v和n的夹角不变建立关于x,y,z的方程，该方程为所求
例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。
（（xyz）2x2y2z2）
在坐标轴上取三点（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1），则过三点的平面为
xyz1
故对称轴的方向向量为（1,1,1），一条母线的方向向量为（1,0,0），
则母线和对称轴的夹角为11101031
“J3cos，即cos
在母线上任取一点M（x,y,z），则过该点的母线的方向向量为
xyzx2y2z23cos
所以（xyz）2x2y2z2
n（x,y,z）
例3圆锥面的顶点为（1,2,3），轴垂直于平面2x2y
z1
0,母线和轴成300，求圆
在母线上任取一点M（x,y,z），轴的方向向量为
（2,2,
1），母线的方向向量为
n（x1,y2,z3）
则2（x1）2（y2）（z3）,（x1）2（y2）2
（z3）2-9cos300
即4（2x2yz3）227（x1）227（y2）2
27（z
3）2
三、旋转曲面
设旋转曲面的母线方程为f1（x,y,z）0，旋转轴为
xX。
）匹Z空，求旋转
f2（x,y,z）0
X
YZ
曲面方程
在母线上任取一点皿1（为，如，乙），所以过皿1（为，丫1,乙）的纬圆方程
X（xxjY（yyjZ（zzj0
（xx。
）2（yy。
）2（zz0）2（%x。
）2（%y。
）2（乙z。
）2
又因为皿1（为，力，乙）在母线上，有
f2（X1,y1,zJ0
由上述四个方程消去Xi,y「Zi的方程F（x,y,z）0为旋转曲面
例4求直线x1.仝」绕直线|:
xyZ旋转一周所得的旋转曲面的方程。
210
在母线上任取一点Mi（Xi，yi，zJ，则过Mi（Xi,yi,zJ的纬圆方程
（X
Xi）（yyi）
（z
Zi）
yzXi
又因为Mi（Xi,
yi,zi）在母线上，
有
zii
由上述方程消去
Xi,yi,zi的方程得
9x2
9y2
9z25（xyzi）29
四、几种特殊的曲面方程
i、母线平行于坐标轴的柱面方程
设柱面的准线是
xoy平面上的曲线
f（x,y）
z0
则柱面方程为
f（x,y）0
xoz平面上的曲线
g（X,z）y0
g（x,z）0
yoz平面上的曲线
h（y,z）
x0
h（y,z）0
（i）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母
（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、
抛物线柱面
例求柱面方程
（i）准线是
2z
母线平行于x轴
柱面方程为
22z
（2）准线是
4
y_
z2i
z1，母线平行于
y轴
24z
2X
^2
-i
91，母线平行于
（3）准线是
z轴
x2
2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面
设母线是f（x,y）0,旋转轴是x轴的旋转曲面为f（x,.y2z2）0；
旋转轴是y轴
z0飞'
的旋转曲面为f（•.x2z2,y）0
（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）
此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。
例方程上zX0是什么曲面，它是由xoy面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的
xoy面上的Jx0绕x轴旋转而成的
3、平行于坐标面的平面和曲面f（x,y,z）0的交线方程
例求曲面和三个坐标面的交线
2x
16z2
64
、
x216z264
y216z264
y0
（2）
4y2
注意在yoz面上无交线
（3）x29y210z
在xoy面上交于一点（0,0）五、求投影1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点方法：
（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量
（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影
例5
（1）求点A（3,1,1）在平面3xyz200上的投影
（2）求点A（1,2,5）到平面xyz100的距离，并求该点关于平面的对称点坐标
（1）求过直线3x2y20且与点M（1,2,1）的距离为1的平面方程
x2yz60
2、求点在直线上的
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