大学微积分复习题Word格式.doc
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(2)理解函数的概念。
掌握函数的表示法,会求函数的定义域。
(3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。
(4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。
(5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。
(二)极限
数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。
(1)理解数列及函数极限的概念
(2)会求数列极限。
会求函数的极限(含左极限、右极限)。
了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。
掌握极限的四则运算法则。
(4)理解无穷小和无穷大的概念。
掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。
了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。
(5)掌握用两个重要极限求极限的方法。
(三)连续
函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。
(1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。
会求函数的间断点。
(2)掌握连续函数的四则运算法则。
(3)了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。
(4)了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。
第二章、一元函数微分学
(一)导数与微分
导数与微分的定义,左导数与右导数,导数的几何意义,函数的可导性、可微性与连续性的关系,导数与微分的四则运算,导数与微分的基本公式,复合函数的求导法,隐函数的求导法,高阶导数。
(1)理解导数的概念及其几何意义。
了解左导数与右导数的概念。
(2)了解函数可导性、可微性与连续性的关系。
(3)会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。
(4)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。
(5)会求隐函数的一阶导数。
(6)了解高阶导数的概念。
会求函数的二阶导数。
(7)了解微分的概念。
会求函数的微分。
(二)微分中值定理及导数的应用
微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理),洛必达法则,函数单调性的判别,函数的极值,函数的最大、最小值,函数图形的凹凸性与拐点。
(1)了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。
(2)熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
(3)掌握利用导数判断函数单调性的方法。
(4)理解函数极值的概念。
掌握求函数的极值与最大、最小值的方法,并会求解简单的应用问题。
(5)会判断平面曲线的凹凸性。
会求平面曲线的拐点。
第三章、一元函数积分学
(一)不定积分
原函数与不定积分的概念,不定积分的基本性质,不定积分的基本公式,不定积分的换元积分法与分部积分法。
(1)理解原函数与不定积分的概念。
掌握不定积分的基本性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分的第一类换元法,掌握不定积分的第二类换元法(仅限于三角代换与简单的根式代换)。
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法。
(二)定积分
定积分的概念与基本性质,定积分的几何意义,变上限积分定义的函数及其导数,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的换元法与分部积分法,定积分的应用(平面图形的面积、旋转体的体积)。
(1)理解定积分的概念。
了解定积分的几何意义。
掌握定积分的基本性质。
(2)理解变上限积分作为其上限的函数的含义,会求这类函数的导数。
(3)掌握牛顿-莱布尼茨公式。
(4)熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。
(5)会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。
(三)广义积分
广义积分的概念与基本性质,广义积分的计算,广义积分的应用。
(1)理解广义积分的概念。
(2)了解广义积分的实际背景和意义。
(3)掌握广义积分的基本性质。
(4)熟练掌握广义积分的计算。
三、练习题
一、单选题
1.函数的定义域是()
A、 B、 C、 D、
2.当时,下列变量中不是无穷小量的是()
A、 B、 C、 D、
3.在的导数为()
A、1 B、0 C、 D、不存在
4.极限=()
A、 B、2 C、 D、1
5.设函数在可导,且,则=()
A、 B、1 C、2 D、4
6.设,则在处()
A、左导数不存在 B、右导数不存在 C、 D、不可导
7.设,则=()
8.下列关系正确的是()
A、 B、
C、 D、
9.=()
A、0 B、 C、 D、3
10.下列广义积分发散的是()
二、填空题
1.
2.
3.
4.设在连续,则
5.函数在上满足拉格朗日中值定理的
6.在上的最大值为_____________.
7.
8.设在点有:
,则是的___________值.
9.设是由方程确定的隐函数,则
10.
三、计算题
1.设,求.
2.求
3.设函数,求
4.求函数的极值,并说明是极大值还是极小值.
5.设在处连续,求
6、求由曲线及直线所围图形面积.
7、计算
8、设,求
四、证明题
1.证明:
当时,
2、证明:
当时,证明
3、证明:
四、习题解答提示
DDDCBDCCAB
1.
2.6
3.
4.
5.
6.
7.
8.极大
9.
2.1.
3.提示:
,,
4.提示:
极大值.
5、提示:
因为在处连续.根据连续定义解题:
,利用连续性,
,利用连续性
6、提示:
7、提示:
8、提示:
利用微分定义得
1.提示:
令,则,,当时严格单增,但,所以当时,亦即
2、提示:
令(当时),
所以在时严格单调增,但,所以在时,即同理可证
3、提示:
选取恰当的变量代换:
只要做变量代换便可计算出
说明:
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