江西省南昌三中学年高二下学期期中考试数学理试题 Word版含答案文档格式.docx
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“当f（k）≥k2成立时，总可推出f（k＋1）≥（k＋1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若f
（1）＜1成立，则f（10）＜100成立
B．若f
（2）＜4成立，则f
（1）≥1成立
C．若f（3）≥9成立，则当k≥1时，均有f（k）≥k2成立
D．若f（4）≥16成立，则当k≥4时，均有f（k）≥k2成立
6、设
、
是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）
A．若
，则
B．若
C．若
D．若
7.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2
，则该二面角的大小为（）
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
8、将一个真命题中的“
个平面”换成“
条直线”、“
条直线”换成“
个平面”，若所得到的新命题仍是真命题，则该命题称为“可换命题”，下列四个命题
①垂直于同一个平面的两条直线平行②垂直于同一个平面的两个平面平行；
③平行于同一条直线的两条直线平行④平行于同一个平面的两条直线平行。
其中是“可换命题”的是（）
A．①②B．①④C．①③D．③④
9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，
和
，且长为
的棱与长为
的棱异面，则
的取值范围是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、正方体的八个顶点共可以连成28条直线，从这28条直线中任取2条直线，这2条直线恰好是一对异面直线.则这样不同的异面直线有多_____对（）
A、174B、87C、348D84
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上）
11．已知某三棱锥的三视图（单位：
cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．
12．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝
，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________________________
13．在△ABC中，∠ACB＝90°
，AB＝8，∠ABC＝60°
，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为__________．
14.已知正三棱锥
，点
都在半径为
的球面上，若
两两相互垂直，则球心到截面
的距离为．
15、下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中，真命题的编号是＿＿＿＿（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分） 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（数字作答）
17.（本小题满分12分）已知：
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2
，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.
（1）求证：
平面B1EF⊥平面BDD1B1；
（2）求点D1到平面B1EF的距离.
18.（本小题满分12分）如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.
（1）求CE的长；
（2）求证：
A1C⊥平面BED；
（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值.
19.（本小题满分12分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
，M、N分别为AB、SB的中点，求点B到平面CMN的距离.
20、（本小题满分13分）一段楼梯共有12个阶梯，某人上楼时，有时迈一阶有时迈两阶，
（1）此人共用7步走完，问有多少种不同的上楼的方法。
（2）试求此人共有多少种不同的上楼的方法。
21．（本小题满分14分）．如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°
，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°
.
（1）求异面直线BD和AA1所成的角；
（2）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；
（3）在直线CC1上否存在点P，使BP∥平面DA1C1？
若存在，求出点P的位置；
若不存在，说明理由．
南昌市第三中学2013-2014学年度下学期期中考试
高二数学（理）答卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（每小题5分，共25分）
11、.12、.13、.
14、_.15、_______________.
高二数学（理）答案
1-5CDCCD6-10DCCAA
11、112、
13、
14、
15、
16、解：
（1）
=480，
（2）
=240
（3）
=480
17：
（1）略
（2）h=
18：
（1）CE=1
（2）略
19：
h=
20：
21：
[解析] 连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°
，
∴A1O2＝AA12＋AO2－2AA1·
AO·
cos60°
＝3.∴AO2＋A1O2＝AA12.
∴A1O⊥AO，∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，∴A1O⊥平面ABCD.
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1,0），B（
，0,0），C（0,1,0），D（－
，0,0），A1（0,0，
）．
（1）∵
＝（－2
，0,0），
＝（0,1，
），
∴
·
＝0×
（－2
）＋1×
0＋
×
0＝0，
∴BD⊥AA1，即异面直线BD和AA1所成的角为90°
.
（2）∵OB⊥平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C的法向量n1＝（1,0,0）．
设n2＝（x，y，z）是平面AA1D的一个法向量，则
取n2＝（1，
，－1）．
∴cos〈n1，n2〉＝
＝
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是
（3）假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C，
设
＝λ
，P（x，y，z），
则（x，y－1，z）＝λ（0,1，
∴P（0,1＋λ，
λ），
＝（－
，1＋λ，
λ）．
设n3＝（x3，y3，z3）是平面DA1C1的一个法向量，则
不妨取n3＝（1,0，－1）．
又∵
∥平面DA1C1，∴n3·
＝0，
∴－
－
λ＝0，∴λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且使C1C＝CP.
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