交大复旦同济自主招生数学试题(完美版)Word文档格式.doc

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1．设f（x）的原函数是，则__________．

2．设，则函数（的最小值是__________．

3．方程的解x＝__________．

4．向量在向量上的投影__________．

5．函数的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．

7．方程7x2-（k+13）x+k2-k-2＝0的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内，则k的取值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．

三、证明与计算（本题61分）

1．（6分）已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有，．

试证：

a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

2．（10分）设3次多项式f（x）满足：

f（x+2）＝-f（-x），f（0）＝1，f（3）＝4，试求f（x）．

3．（8分）求极限．

4．（10分）设在x＝0处可导，且原点到f（x）中直线的距离为，原点到f（x）中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．（b,c>

0）

5．（8分）证明不等式：

，．

6．（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

O

y

x

B1

A2

A1

B2

7．（11分）如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：

第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；

2，3；

4，5，6；

……．令an为第n组数之和，则an＝________________．

2．＝______________．

3．＝_________________．

4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

5．正实数x,y满足关系式x2-xy+4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米．

二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．

2．求证：

从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？

请叙述但不必证明．

3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于，

求该棱锥的体积．（）

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．

求证：

这四个点组成一个矩形．

5．设，其中xn,yn为整数，求n→∞时，的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：

半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．

2001年上海交通大学联读班数学试题

一、填空题（本题共40分，每小题4分）

1．数的位数是________________．

2．若log2[log3（log4x）]＝log3[log4（log2y）]＝log4[log2（log3z）]＝0，则x+y+z＝_________．

3．若log23＝p，log35＝q，则用p和q表示log105为________________．

4．设sina和sinb分别是sinq与cosq的算术平均和几何平均，则cos2a:

cos2b＝____________．

5．设，则函数f（x）＝cosx+xsinx的最小值为________________．

6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形，已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为____________．

7．若在数列1，3，2，…中，前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_______________．

8．在（1+2x-x2）4的二项展开式中x7的系数是_______________．

9．某编辑在校阅教材时，发现这句：

“从60°

角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求两个端点间的距离”，其中a厘米在排版时比原稿上多1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a＝________________．

10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为_________________．

二、选择题（本题共32分，每小题4分）

11．a>

0，b>

0，若（a+1）（b+1）＝2，则arctana+arctanb＝ （）

12．一个人向正东方向走x公里，他向左转150°

后朝新方向走了3公里，结果他离出发点公里，则x是 （）

A． B． C．3 D．不能确定

13． （）

14．设[t]表示≤t的最大整数，其中t≥0且S＝{（x,y）|（x-T）2+y2≤T2,T＝t-[t]}，则 （）

A．对于任何t，点（0,0）不属于S B．S的面积介于0和p之间

C．对于所有的t≥5，S被包含在第一象限 D．对于任何t，S的圆心在直线y＝x上

15．若一个圆盘被2n（n>

0）条相等间隔的半径和一条割线所分隔，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是 （）

A．2n+2 B．3n-1 C．3n D．3n+1

16．若i2＝-1，则cos45°

+icos135°

+…+incos（45+90n）°

+…+i40cos3645°

＝ （）

17．若对于正实数x和y定义，则 （）

A．”*”是可以交换的，但不可以结合 B．”*”是可以结合的，但不可以交换

C．”*”既不可以交换，也不可以结合 D．”*”是可以交换和结合的

18．两个或两个以上的整数除以N（N为整数，N>

1），若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余．若69，90和125对于某个N是同余的，则对于同样的N，81同余于 （）

A．3 B．4 C．5 D．7

三、计算题（本题共78分）

19．（本题10分）已知函数f（x）＝x2+2x+2，x∈[t,t+1]的最小值是g（t）．试写出g（t）的解析表达式．

20．（本题12分）设对于x>

0，，求f（x）的最小值．

21．（本题16分）已知函数，对于n＝1,2,3,…定义fn+1（x）＝f1[fn（x）]．若f35（x）＝f5（x），则f28（x）的解析表达式是什么？

22．（本题20分）已知抛物线族2y＝x2-6xcost-9sin2t+8sint+9，其中参数t∈R．

（1）求抛物线顶点的轨迹方程；

（2）求在直线y＝12上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．

Pn

Xn+1

Xn

Pn+1

23．（本题20分）设{xn}为递增数列，x1＝1，x2＝4，在曲线上与之对应的点列为P1（1,1）,P2（4,2）,,…,…，且以O为原点，由OPn、OPn+1与曲线PnPn+1所围成部分的面积为Sn，若{Sn}（n∈N）是公比为的等比数列，图形XnXn+1Pn+1Pn的面积为，

试求S1+S2+…+Sn+…和．

复旦大学2001年选拔生考试数学试题

一、填空（每小题5分，共45分）

1．sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=___________________．

2．平面p1,p2成a的二面角，平面p1中的椭圆在平面p2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．

3．（x2+2x+2）（y2-2y+2）＝1，则x+y=________________________．

4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____．

5．2002=83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0=______________．

6．的常数项为_________________．

7．＝__________________．

8．空间两平面a,b，是否一定存在一个平面均与平面a,b垂直？

___________．

9．在△ABC中，cos（2A-C）＝cos（2C-B），则此三角形的形状是________________．

二、解答题（共87分）

1．求解：

cos3xtan5x＝sin7x．

2．数列3，3-lg2，…,3-（n-1）lg2．问当n为几时，前n项的和最大？

3．求证：

x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．

4．a为何值时，方程有解？

只有一解？

5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？

6．x3-2y3＝1的所有整数解（x,y），试证明：

．

上海交通大学2002年保送生考试数学试题

一、填空题（本题共64分，每小题4分）

1．设方程x3=1的一个虚数根为（n是正整数）=__________．

2．设a,b是整数，直线y=ax+b和3条抛物线：

y=x2+3,y=x2+6x+7与y=x2+4x+5的交点个数分别是2，1，0，则（a,b）=___________．

3．投掷3个骰子，其