高考数学一轮复习配套讲义第2篇 第13讲 定积分与微积分基本定理文档格式.docx

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c<

b）．

3．微积分基本定理

一般地，如果f（x）是在区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x）．那么f（x）dx＝F（b）－F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

辨析感悟

1．关于定积分概念的理解

（1）定积分概念中对区间[a，b]的分割具有任意性．（√）

（2）当n→＋∞时，和式（ξi）·

Δx＝f（ξi）无限趋近于某一确定的常数．（√）

（3）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）dx＝f（t）dt.（√）

2．定积分的几何意义与物理意义

（4）在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f（x）和直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f（x）|dx.（√）

（5）若f（x）dx<

0，那么由y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（×

）

（6）（教材习题改编）已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝＝5t.（√）

3．定积分的性质及微积分基本定理

（7）若f（x）是连续的偶函数，则＝2f（x）dx.（√）

（8）若f（x）是连续的奇函数，则＝0.（√）

（9）（·

湖南卷改编）如果x2dx＝9，则常数T＝3.（√）

[感悟·

提升]

1．一种思想　定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如

（2）、（3）．

2．一个定理　由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算，如（9）中，可确定一个原函数F（x）＝x3，进而求T.

3．两点提醒　一是重视定积分性质在求值中的应用，如（7）、（8）．

二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如（4）.

学生用书第46页

考点一　定积分的计算

【例1】

（1）若＝2，则实数a等于（　　）．

A．－1B．1

C.D．－

（2）定积分dx的值为________．

（3）已知函数f（x）＝sin5x＋1，则的值为________．

解析　

（1）∵（asinx－cosx）′＝sinx＋acosx，

＝－（asin0－cos0）＝a＋1，

∴a＋1＝2.∴a＝1.

（2）由定积分的几何意义知，dx是由曲线y＝，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故dx＝＝.

答案　

（1）B　

（2）π　（3）π

规律方法

（1）用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．

（2）根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．

（3）若y＝f（x）为奇函数，则＝0.

【训练1】

（1）定积分＝________.

（2）（·

广东六校模拟）＝________.

解析　

（1）∵′＝x2＋sinx，

∴＝＝.

（2）由定积分的几何意义知，是由曲线y＝，直线x＝－1，x＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故＝＝.

答案　

（1）　

（2）

考点二　利用定积分求平面图形的面积

【例2】

（1）已知二次函数y＝f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（　　）．

A.B.

C.D.

（2）曲线y＝x2与直线y＝kx（k>

0）所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.

审题路线　

（1）先求二次函数f（x）的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．

（2）先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积．

解析　

（1）设f（x）＝a（x＋1）（x－1）（a<

0）．

因为f（x）的图象过（0,1）点，所以－a＝1，即a＝－1.

所以f（x）＝－（x＋1）（x－1）＝1－x2.

所以S＝＝2（1－x2）dx

＝2＝2＝.

（2）由得或

则曲线y＝x2与直线y＝kx（k>

0）所围成的曲边梯形的面积为（kx－x2）dx＝＝－k3＝，即k3＝8，∴k＝2.

答案　

（1）B　

（2）2

规律方法利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：

（1）画出图形；

（2）确定被积函数；

（3）确定积分的上、下限，并求出交点坐标；

（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．

求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：

定积分是一个数值（极限值），可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．

【训练2】

（1）设a>

0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

（2）曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为________．

解析　

（1）S＝dx＝＝＝a2，∴a＝.

（2）由

得交点A（1,1）；

由

得交点B（3，－1）．

故所求面积

S＝dx＋dx

＝＋＝＋＋

＝.

考点三　定积分在物理中的应用

【例3】（·

湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7－3t＋（t的单位：

s，v的单位：

m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：

m）是（　　）．

A．1＋25ln5B．8＋25ln

C．4＋25ln5D．4＋50ln2

解析　令v（t）＝0，得t＝4或t＝－（舍去），

∴汽车行驶距离s＝dt

＝[7t－t2＋25ln（1＋t）]

＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5.

答案　C

学生用书第47页

规律方法

（1）利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．

（2）定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误．

【训练3】设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F（x）＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：

m，力的单位：

N）．

解析　由题意知变力F（x）对质点M所做的功为

＝＝342.

答案　342

1．求定积分常用的方法

（1）利用微积分基本定理．

（2）运用定积分的几何意义（曲边梯形面积易求时）转化为求曲边梯形的面积．

2．定积分计算应注意的问题+

（1）利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数　　　　　　　　　　　　　　　　　

的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算．

（2）定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．

（3）面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．

易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误

【典例】（2011·

课标全国卷）由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为（　　）．

A.B．4

C.D．6

[错解]　由得

∴y＝与直线y＝x－2的交点为（4,2），

于是，围成图形的面积是

S＝[－（x－2）]dx－（x－2）dx

＝－－

＝－2＝.

[答案]　A

[错因]　

（1）不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．

（2）求错原函数，导致计算错误．

[正解]　作出曲线y＝，直线y＝x－2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积．

由得交点A（4,2）．

因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

[－（x－2）]dx＝（－x＋2）dx

＝＝×

8－×

16＋2×

4＝.

[答案]　C

[防范措施]　

（1）准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．

（2）利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．

【自主体验】

曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．

解析　作出曲线y＝，直线y＝x和x＝2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积．

由得交点（1,1）．因此y＝与y＝x及x＝2所围成的图形的面积为

S＝xdx－dx

＝x2－lnx

＝－（ln2－ln1）＝－ln2.

答案　－ln2

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.（ex＋2x）dx等于（　　）．

A．1B．e－1

C．eD．e＋1

解析　（ex＋2x）dx＝（ex＋x2）

＝（e1＋12）－（e0＋02）＝e.

2．（·

济南质检）由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图

形的面积为（　　）．

A.B．1

解析　由题意知S＝＝－＝.

答案　D

3．（·

广州模拟）设f（x）＝sintdt，则f的值等于（　　）．

C．－cos1D．1－cos1

解析　∵f＝＝1，

∴f＝f

（1）＝sintdt＝（－cost）＝1－cos1.

4.如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝，所围成的图形（阴影部分）的

面积为（　　）．

解析　由x2＝，得x＝或x＝－（舍），则阴影部分的面积为S＝＝

＋＝.

5．一物体在力F（x）＝（单位：

N）的作用下沿与力F（x）相同的方

向运动了4米，力F（x）做功为（　　）．

A．44JB．46J

C．48JD．50J

解析　力F（x）所做的功为10dx＋（3x＋4）dx＝20＋26＝46（J）．

答案　B

二、填空题

6．已知2≤（kx＋1）dx≤4，则实数k的取值范围是________．

解析　∵（kx＋1）dx＝＝k＋1，

∴2≤k＋1≤4，∴≤k≤2.

答案　

7.如图所示，是一个质点做直线运动的v－t图象，则质点在前6s内的位移为________m.

解析　由题图易知

v（t）＝

∴s