高考数学一轮复习配套讲义第2篇 第13讲 定积分与微积分基本定理文档格式.docx

1、cb）3微积分基本定理一般地，如果f（x）是在区间a，b上的连续函数，且F（x）f（x）那么f（x）dxF（b）F（a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式辨 析 感 悟1关于定积分概念的理解（1）定积分概念中对区间a，b的分割具有任意性（）（2）当n时，和式（i）xf（i）无限趋近于某一确定的常数（）（3）设函数yf（x）在区间a，b上连续，则f（x）dxf（t）dt.（）2定积分的几何意义与物理意义（4）在区间a，b上的连续的曲线yf（x）和直线xa，xb（ab），y0所围成的曲边梯形的面积S|f（x）|dx.（）（5）若f（x）dx0）所围成的曲边图形的面积为，则k_.审

2、题路线（1）先求二次函数f（x）的解析式，再利用定积分的几何意义求面积（2）先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积解析（1）设f（x）a（x1）（x1）（a0）所围成的曲边梯形的面积为（kxx2）dxk3，即k38，k2.答案（1）B（2）2规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：（1）画出图形；（2）确定被积函数；（3）确定积分的上、下限，并求出交点坐标；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值（极限值），可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正【训练

3、2】 （1）设a0，若曲线y与直线xa，y0所围成封闭图形的面积为a2，则a_.（2）曲线y，y2x，yx所围成图形的面积为_解析（1）Sdxa2，a.（2）由得交点A（1,1）；由得交点B（3，1）故所求面积Sdxdx.考点三定积分在物理中的应用【例3】 （湖北卷）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）73t（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2解析令v（t）0，得t4或t（舍去），汽车行驶距离sdt7tt225ln（1t） 282425ln 5425

4、ln 5.答案C学生用书 第47页规律方法 （1）利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式（2）定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误【训练3】 设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F（x）x21且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为_J（x的单位：m，力的单位：N）解析由题意知变力F（x）对质点M所做的功为342.答案342 1求定积分常用的方法（1）利用微

5、积分基本定理（2）运用定积分的几何意义（曲边梯形面积易求时）转化为求曲边梯形的面积2定积分计算应注意的问题+（1）利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算（2）定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限（3）面积非负，而定积分的结果可以为负利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论易错辨析4对定积分的几何意义理解不到位致误【典例】 （2011课标全国卷）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）A. B4 C. D6错解由得y与直线yx2的交点为（4,2），于是，围成图形的面积是S（

6、x2）dx（x2）dx2.答案A错因（1）不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示（2）求错原函数，导致计算错误正解作出曲线y，直线yx2的草图（如图所示），所求面积为阴影部分的面积由得交点A（4,2）因此y与yx2及y轴所围成的图形的面积为（x2）dx（x2）dx81624.答案C防范措施（1）准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提（2）利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数【自主体验】曲线y与直线yx，x2所围成的图形的面积为_解析作出曲线y，直线yx和x2的草图（

7、如图所示），所求面积为阴影部分的面积由得交点（1,1）因此y与yx及x2所围成的图形的面积为Sxdxdxx2ln x（ln 2ln 1）ln 2.答案ln 2基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. （ex2x）dx等于 （）A1 Be1 Ce De1解析（ex2x）dx（exx2） （e112）（e002）e.2（济南质检）由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为 （）A. B1 解析由题意知S.答案D3（广州模拟）设f（x）sin tdt，则f的值等于 （）Ccos 1 D1cos 1解析f1，ff（1）sin tdt（cos t）1cos 1.4.如图所示，曲线yx2和直线x0，x1及y，所围成的图形（阴影部分）的面积为 （）解析由x2，得x或x（舍），则阴影部分的面积为S.5一物体在力F（x）（单位：N）的作用下沿与力F（x）相同的方向运动了4米，力F（x）做功为 （）A44 J B46 J C48 J D50 J解析力F（x）所做的功为10dx（3x4）dx202646（J）答案B二、填空题6已知2（kx1）dx4，则实数k的取值范围是_解析（kx1）dxk1，2k14，k2.答案7.如图所示，是一个质点做直线运动的vt图象，则质点在前6 s内的位移为_ m.解析由题图易知v（t）s