初三上数学辅导讲义第一讲Word下载.docx
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济宁)若一元二次方程ax2=b(ab>
0)的两根是m+1,2m-4,则=___.
6.(2014·
内江)关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是:
x1=-3,x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的解是( )
A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0,x2=5C.x1=-3,x2=5D.x1=-6,x2=2
六、利用一元二次方程根的判别式解方程
7.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的解.
一元二次方程的根与系数的关系
知识点:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=____,x1x2=____.
一、直接求两根之和与两根之积
1.一元二次方程x2+3x=1的两根之和与两根之积分别是( )
A.3,1 B.-3,-1 C.3,-1 D.-3,1
二、求相关对称式的值
2.设x1x2是一元二次方程2x2-x-3=0的两根,求下列代数式的值.
(1)x12+x22
(2)+ (3)x12+x22-3x1x2
三、已知方程的一根求另一根与待定系数
3.已知x=3是关于x的方程x2+2x+m=0的一根,则另一根是____,m=____.
4.已知2+是关于x的方程x2+mx+1=0的一个根,求方程的另一个根,及m的值.
四、与判别式结合求待定系数的值
5.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.
6.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得x1·
x2-x12-x22≥0成立?
若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
练习
1.不解方程,求下列方程两根之和与两根之积:
(1)4x2+1=7x,x1+x2=____,x1·
x2=____;
(2)3x2-1=0,x1+x2=____,x1·
(3)x2-6x=0,x1+x2=____,x1·
(4)2x2-(m+1)x-m=0,x1+x2=____,x1·
x2=____.
2.已知x1,x2是一元二次方程2x2-5x-1=0的两根,则x1-1+x2-1=____.
3.方程x2-2x-3=0,两根分别为3,-1,记为[3,-1],请写出一个根为[-2,3]的一元二次方程.
4.(2014·
常州)已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是1,则m=___,另一个根为____.
5.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m,求m,n的值.
6.已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0的两个解,若(m-1)(n-1)=-6,求a的值.
7.对于任意的非零实数m,关于x的方程x2-4x-m2=0的根的情况是( C )
A.有两个正实数根B.有两个负实数根C.有一个正实数根,一个负实数根D.没有实数根
8.(2014·
烟台)关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是( D )
A.-1或5B.1C.5D.-1
9.(2014·
莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数,则k=__-1__.
10.(2014·
扬州)已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式5a2+b2-5a-b+5的值为__23__.
11.关于x的方程2x2-(a2-4)x-a+1=0.
(1)a为何值时,方程的一根为0?
(2)a为何值时,两根互为相反数?
12.(教材变形题)学了一元二次方程的根与系数的关系后,小亮兴奋地说:
“若设一元二次方程的两个根为x1,x2,就能快速求出+,x12+x22,…的值了.比如设x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2,x1x2=-3,得+==.”
(1)小亮的说法对吗?
简要说明理由;
(2)写一个你最喜欢的一元二次方程,并求出两根的平方和.
13.(2014·
鄂州)已知一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.
(1)若方程有两个不等实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为x1,x2,且|x1-x2|=1,求m的值.
初三上数学辅导讲义
(二)
应用一元二次方程
一、利用一元二次方程解决几何问题
列一元二次方程解应用题的步骤可归结为__审__、__设__、__列__、__解__、__验__、__答__.
1.从一块正方形的木板上锯掉一块2cm宽的长方形木条,剩下部分的面积是48cm2,那么原正方形木板的面积是( )
A.8cm2 B.8cm2或64cm2C.64cm2D.36cm2
2.如图,AB⊥BC,AB=10cm,BC=8cm,一只蝉从C沿CB的方向以每秒1cm的速度爬行,蝉开始爬行的同时,一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行,当螳螂和蝉爬行x秒后,它们分别到达了M,N的位置,此时,△MNB的面积恰好为24cm2,由题意可列方程( )
A.2x·
x=24B.(10-2x)(8-x)=24C.(10-x)(8-2x)=24D.(10-2x)(8-x)=48
第2题图) ,第3题图)
3.小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(如图).如果这个无盖的长方体底面积为81cm2,那么剪去的正方形边长为( )
A.2cmB.1cmC.0.5cmD.0.5cm或9.5cm
宿迁)一块矩形菜地的面积是120cm2,如果它的长减少2cm,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是____cm.
5.已知小明与小亮两人在同一地点,若小明向北直走160m,再向东直走80m,可到购物中心,则小亮向西直走___m后,他与购物中心的距离为340m.
牡丹江)现有一块长80cm,宽60cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,根据题意列方程,化简可得____.
7.(教材习题改编)如图,Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向点B以1cm的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,则点P,Q分别从点A,B同时出发,经过____秒钟,使△PBQ的面积等于8cm2.
8.如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x>
0).求这两段铁丝的总长.
9.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?
(注:
所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
10.如图,两艘船同时从A点出发,一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行,另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行,几小时后两船正好相距100海里?
11.如图,要建造一个四边形花圃ABCD,要求AD边靠墙,CD⊥AD,AD∥BC,AB∶CD=5∶4,且三边的总长为20m.设AB的长为5xm.
(1)请求AD的长;
(用含字母x的式子表示)
(2)若该花圃的面积为50m2,且周长不大于30m,求AB的长.
12.小明和同桌小聪在课后复习时,对练习册“目标与评定”中的一道思考题,进行了认真地探索.
【思考题】如图,一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时B到墙C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米?
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整:
解:
设点B将向外移动x米,即BB1=x,
则A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由B1C2+A1C2=A1B12,
得方程___,解方程,得x1=____,x2=____,∴点B将向外移动___米.
(2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题:
【问题一】在“思考题”中,将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?
为什么?
【问题二】在“思考题”中,梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗?
请你解答小聪提出的这两个问题.
二、利用一元二次方程解决营销问题
1.商品利润=__售价__-__进价__.利润率=____×
100%.
2.平均增长率公式为b=__a(1+x)n__,其中a为起始量,b为终止量,x为平均增长率,n为增长次数.平均降低率公式为b=__a(1-x)n__,其中a为起始量,b为终止量,x为平均降低率,n为降低次数.
知识点一:
利润问题
1.(2014·
泰安)某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;
若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆盈利达到15元,每盆应多植多少株?
设每盆多植x株,则可以列出的方程是( )
A.(3+x)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15
2.某种T恤衫,平均每天销售40件,每件盈利20元.若每件降价1元,则每天可多售出10件.如果每天盈利1400元,每件应降价____元.
3.小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件,如果一次性购买不超过10件,单价为80元;
如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元,按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元,请问她购买了多少件这种服装?
知识点二:
增降率问题
4.目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是( )
A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438D.438(1+2x)=389
海南)某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x,那么x满足的方程是( )
A.100(1+x)2=81 B.100(1-x)2=81C.100(1-x%)2=81D.100x2=81
随州)某小区20XX年屋顶绿化面积为2000平方米,计划20XX年屋顶绿化面积要达到2880平方米.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同,那么这个增长率是____.
7.(2014·
宜宾)某企业五月份