最新九年级数学复习专题动态几何问题Word格式文档下载.docx
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∴.(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)
∴.(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键)
∴.解得.
【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。
在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。
具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解
(2)分三种情况讨论:
①当时,如图②作交于,则有即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)
∵,
∴,
解得.
②当时,如图③,过作于H.
则,
∴.
③当时,
则.
.
综上所述,当、或时,为等腰三角形.
【例2】在△ABC中,∠ACB=45º
.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如图,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.
(2)如果AB≠AC,如图,且点D在线段BC上运动.
(1)中结论是否成立,为什么?
(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=,,CD=,求线段CP的长.(用含的式子表示)
【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。
由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。
【解析】:
(1)结论:
CF与BD位置关系是垂直;
证明如下:
AB=AC,∠ACB=45º
,∴∠ABC=45º
.
由正方形ADEF得AD=AF,∵∠DAF=∠BAC=90º
,
∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC,∴∠ACF=∠ABD.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º
.即CF⊥BD.
【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。
(2)CF⊥BD.
(1)中结论成立.
理由是:
过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
可证:
△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º
.即CF⊥BD
【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。
分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.
(3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q,
①点D在线段BC上运动时,
∵∠BCA=45º
,可求出AQ=CQ=4.∴DQ=4-x,
易证△AQD∽△DCP,∴,∴,
②点D在线段BC延长线上运动时,
,可求出AQ=CQ=4,∴DQ=4+x.
过A作交CB延长线于点G,则.CF⊥BD,
△AQD∽△DCP,∴,∴,
【例3】已知如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.
(1)求证:
梯形是等腰梯形;
(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;
(3)在
(2)中,当取最小值时,判断的形状,并说明理由.
【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。
第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。
第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。
题目给定∠MPQ=60°
,这个度数的意义在哪里?
其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢?
当然是利用角度咯.于是就有了思路.
(1)证明:
∵是等边三角形
∴
∵是中点
∵
∴
∴梯形是等腰梯形.
(2)解:
在等边中,
∴(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)
∵∴
∴∴(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)
【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。
由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。
接下来就变成了“给定PC=2,求△PQC形状”的问题了。
由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。
(3)解:
为直角三角形
∴当取最小值时,
∴是的中点,而
以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。
如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。
当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?
接下来我们看另外两道题.
【例4】已知正方形中,为对角线上一点,过点作交于,连接,为中点,连接.
(1)直接写出线段与的数量关系;
(2)将图1中绕点逆时针旋转,如图2所示,取中点,连接,.
你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中绕点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
(不要求证明)
【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。
从旋转45°
到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。
第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。
第二问将△BEF旋转45°
之后,很多考生就想不到思路了。
事实上,本题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。
连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。
于是两个全等的三角形出现了。
(1)
(2)
(1)中结论没有发生变化,即.
证明:
连接,过点作于,与的延长线交于点.
在与中,
∴.
∴
在矩形中,
【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。
但是我们不应该止步于此。
将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果△BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?
如果题目要求证明,应该如何思考。
建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:
在△BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点。
可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。
要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。
(3)
(1)中的结论仍然成立.
【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′处.
(1)当=1时,CF=______cm,
(2)当=2时,求sin∠DAB′的值;
(3)当=x时(点C与点E不重合),请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).
【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点。
这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。
同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。
一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。
尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。
(1)CF=6cm;
(延长之后一眼看出,EAZY)
(2)①如图1,当点E在BC上时,延长AB′交DC于点M,
∵AB∥CF,∴△ABE∽△FCE,∴.
∵=2,∴CF=3.
∵AB∥CF,∴∠BAE=∠F.
又∠BAE=∠B′AE,∴∠B′AE=∠F.∴MA=MF.
设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.
在Rt△ADM中,由勾股定理得:
k2=(9-k)2+62,解得k=MA=.∴DM=.(设元求解是这类题型中比较重要的方法)
∴sin∠DAB′=;
②如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B′E于点N,
同①可得NA=NE.
设NA=NE=m,则B′N=12-m.
在Rt△AB′N中,由勾股定理,得
m2=(12-m)2+62,解得m=AN=.∴B′N=.
∴sin∠DAB′=.
(3)①当点E在BC上时,y=;
(所求△AB′E的面积即为△ABE的面积,再由相似表示出边长)
②当点E在BC延长线上时,y=.
【总结】通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式。
动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。
只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下:
第一、仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的。
针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论。
针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系。
第二、画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。
如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究。
第三、做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键。
第二部分发散思考
【思考1】已知:
如图
(1),射线射线