不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用Word格式.docx
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2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
【分析：
】
1）思路、等价转化为函数恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．
2）思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可．
简解：
（1）由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．
例3设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围．
思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．
方法1：
化归最值，；
方法2：
变量分离，或；
方法3：
变更主元，，
方法1:
对求导，，
由此可知，在上的最大值为与中的较大者．
，对于任意，得的取值范围是．
练习题
1、设,当x[-1,+]时，都有恒成立，求a的取值范围。
解：
a的取值范围为[-3，1]
2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;
等价于对任意恒
成立,又等价于时,成立.由于
在上为增函数,
则,所以
3、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当
时，有恒成立，求实数m的取值范围.
由得到：
因为为奇函数，故有恒成立，
又因为为R减函数，从而有对恒成立。
设，则对于恒成立，
设函数,对称轴为.
①当时，，
即，又∴（如图1）
②当，即时,
即,
∴,又,∴（如图2）
③当时，恒成立.∴（如图3）
故由①②③可知：
.
4、已知函数在处取得极值，其中为常数.
（1）试确定的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
（1）
（2）略（3）由
（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.解得或.的取值范围为.
2、主参换位法
5、若不等式对恒成立，实数a的取值范围是。
6、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围
7、已知函数，其中为实数．若不等式
对任意都成立，求实数的取值范围．
解析：
由题设知“对都成立，即对都成立。
设（），
则是一个以为自变量的一次函数。
恒成立，则对，为上的单调递增函数。
所以对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是。
3、分离参数法
8、当时，不等式恒成立，则的取值范围是.
解析:
当时，由得.∴.
4、数形结合
9、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________
对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知，即。
二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.
10、已知不等式在实数集R上的解集不是空集，求实数的取值范围______
11、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．
设.则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立,
即解得或
12、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围
因为函数存在单调递减区间，所以
有解.即能成立,设.
由得,.于是,,
由题设,所以a的取值范围是
三、不等式恰好成立问题的处理方法
13、不等式的解集为则__________：
6
14、已知当的值域是,试求实数的值.
是一个恰成立问题,这相当于的解集是.
当时,由于时，,,与其值域是矛盾,
当时,是上的增函数,所以,的最小值为,，令
15、已知两个函数，其中为实数。
⑴对任意，都有成立，求的范围；
⑵存在，使成立，求的范围；
⑶对任意，都有，求的范围。
⑴设，问题转化为时，恒成立。
即，令，所以的最小值只可能在和处取得，又，
⑵据题意存在，使成立，即在上有解，故，由⑴知，只可能是或，所以
⑶由题意对任意，都有等价于当时，
，易知，，
由
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围
2、已知不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围
3、设函数．对于任意实数，恒成立，求的最大值。
对,,即在上恒成立,，即的最大值为。
4、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
不等式即,设，则在[-2,2]上恒大于0，故有：
或
5、已知不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围。
6、对任意的，函数的值总是正数，求的范围
7、若不等式在内恒成立，则实数m的取值范围。
8、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。
画出两个凼数和在
上的图象如图知当时，
当，时总有所以。
9、不等式有解，求的取值范围。
不等式有解有解有解，所以。
11、①对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。
②若不等式有解，求实数a的范围。
③若方程有解，求实数a的范围。
①②③
13、设函数，其中．若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
由条件可知
，从而恒成立．当时，；
当时，．因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意，不等式在上恒成立，当且仅当，
即在上恒成立，即
14、已知向量。
若函数在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
依定义。
则，
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上恒成立。
∴在（-1，1）上恒成立。
易求得t的取值范围是.
不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案
例1、解：
t
g（t）
o
·
1
图1
t=m
图2
图3
例2、解：
等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.
由于在上为增函数,
则,所以
例3、解：
因为为奇函数，
故有恒成立，
又因为为R减函数，从而有对恒成立
在设函数,对称轴为.
即，又∴（如图1）
例4、解：
（1）
（2）略（3）由
（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，
从而.解得或.的取值范围为.
例5、解：
例6、解：
例7、解析：
例8、解析:
当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则∴.
例9、解析：
（1）
（2）在区间上单调递增在上恒成立恒成立，。
设，，
令得或（舍去），
当时,，当时，单调增函数；
当时，单调减函数,
。
。
当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，，。
O
综上，当时,；
当时，。
例10、解析：
例11、解：
1<
a2.
例12、解：
例13、第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,
例14、解：
，则
因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是,
而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中.
由得,.于是,,
例15、解：
例16、解：
当时,由于时,,与其值域是矛盾,
当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即
例17、解析：
（1）设h（x）=g（x）-f（x）=2x2-3x2-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，故h（x）≥0.令h′（x）=6x2-6x-12=0，得x=-1或2。
由h（-1）=7+k，h
（2）=-20+k，h（-3）=k-45，h（3）=k-9，故h（x）=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.
（2）据题意：
存在x[-3，3]，使f（x）≤g（x）成立，即为：
h（x）=g（x）-f（x）≥0在x[-3，3]有解，故h（x）≥0，由
（1）知h（x）=k+7，于是得k≥-7。
（3）它与
（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
，由g′（x）=6x2+10x+4=0，得x=-或-1，易得，又f（x）=8（x+1）2-8-k，.故令120-k≤-21，得k≥141。
专项练习：
1、解：
2、解：
3、解析：
对,,即在上恒成立,,得，即的最大值为。
4、解：
不等式即（x-1）p+x2-2x+1>
0,设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1,则f（p）在[-2,2]上恒大于0，故有：
x
y
3
即解得：
∴x<
-1或x>
3.
5、解：
6、解：
7、解：
8、解：
当时总有所以
9、解：
10、解：
由又有解，
所以．令恒成立．所以
11、解：
①②③12、解：
①②
13、解：
即，即在上恒成立．即，
所以，因此满足条件的的取值范围是．
14、解：
（）由（）知，当时，在或处取得最小值。
；
则由题意得即解得。
15、解：
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。
-1
g（x）
考虑函数，（如图）
由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
故要使在（-1，1）上恒成立，即。
而当时，在（-1，1）上满足>
0，
即在（-1，1）上是增函数。
故t的取值范围是.
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