江苏专用高考数学二轮复习第二篇第24练数列试题理Word格式文档下载.docx
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得3=2a1+×
d+4a1+×
d,将a1=2代入上式,解得d=-3,
故a5=a1+(5-1)d=2+4×
(-3)=-10.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9=1,S18=0,则Sn取最大值时n的值为________.
答案 9
解析 方法一 设公差为d,
则a1+8d=1且18a1+d=0,
解得a1=17,d=-2,所以Sn=17n-n(n-1)=-n2+18n,
当n=9时,Sn取最大值.
方法二 因为S18=×
18=0,
所以a1+a18=a9+a10=0,
所以a10=-1,
即数列{an}中前9项为正值,从第10项开始为负值,故其前9项之和最大.
3.(2018·
江苏高考冲刺预测卷)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1=,且a2a8=2a5+3,则a9=________.
答案 18
解析 ∵a2a8=2a5+3,∴a=2a5+3,
解得a5=3(舍负),即a1q4=3,则q4=6,a9=a1q8=×
36=18.
4.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>
1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=________.
答案 -9
解析 由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,∴q<
0,又∵|q|>
1,∴{an}的连续四项为-24,36,
-54,81,∴q==-,∴6q=-9.
考点二 数列的通项与求和
方法技巧
(1)已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常利用累加法、累乘法、构造法求解.
(2)利用an=求通项时,要注意检验n=1的情况.
5.数列{an}满足a1=0,-=1(n≥2,n∈N*),则a2019=________.
答案
解析 ∵数列{an}满足a1=0,-=1(n≥2,n∈N*),∴=1,
∴数列是首项为1,公差为1的等差数列,
∴=1+(n-1)×
1=n,
∴=2019,解得a2019=.
6.已知数列{an}满足a1a2a3…an=(n∈N*),且对任意n∈N*都有++…+<
t,则t的取值范围为________.
解析 ∵数列{an}满足a1a2a3…an=(n∈N*),
∴当n=1时,a1=2;
当n≥2时,a1a2a3…an-1=,
可得an=22n-1,n≥2,当n=1时,a1=2满足上式,
∴=,数列为等比数列,首项为,公比为.
∴++…+==<
.
∵对任意n∈N*都有++…+<
t,
∴t的取值范围是.
7.(2018·
全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.
答案 -63
解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,
∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),
即an=2an-1(n≥2).
当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.
∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列,
∴Sn===1-2n,
∴S6=1-26=-63.
8.在已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有=1成立,则S2019=________.
解析 当n≥2时,由=1,
得2(Sn-Sn-1)=anSn-S=-SnSn-1,
所以-=1,又==2,
所以是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以=n+1,故Sn=,则S2019=.
考点三 数列的综合应用
方法技巧
(1)以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系.
(2)和不等式有关的数列问题,可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.
9.已知函数f(x)=x2+ax的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线2x-y+2=0平行,若数列的前n项和为Sn,则S20的值为________.
解析 因为f(x)=x2+ax,所以f′(x)=2x+a,又函数f(x)=x2+ax的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线2x-y+2=0平行,所以f′(0)=a=2,所以f(x)=x2+2x,所以==,
所以S20=
=×
=.
10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为________.
答案 1
解析 由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模为1.
11.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为________.
答案 64
解析 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,
两式相除得=,解得q=,a1=8,
所以a1a2…an=8n·
1+2+…+(n-1)=,
抛物线f(n)=-+的对称轴为n==,
又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为=26=64.
12.已知函数f(x)=3|x+5|-2|x+2|,数列{an}满足a1<
-2,an+1=f(an),n∈N*.若要使数列{an}成等差数列,则a1的取值集合为______________.
解析 因为f(x)=
所以若数列{an}成等差数列,则当a1为直线y=x+11与直线y=-x-11的交点的横坐标,即a1=-11时,数列{an}是以-11为首项,11为公差的等差数列;
当f(a1)=a1,即5a1+19=a1或-a1-11=a1,即a1=-或a1=-时,数列{an}是以0为公差的等差数列,因此a1的取值集合为.
1.在数列{an}中,a1=1,a2=2,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=________.
答案 211
解析 当n>1时,Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,
∴an+1=an+2,n≥2,
∴an+1-an=2,n≥2.
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列,
∴S15=a1+(a2+…+a15)=1+×
14=211.
2.已知数列{an}满足:
an+1=an(1-2an+1),a1=1,数列{bn}满足:
bn=an·
an+1,则数列{bn}的前2019项的和S2019=________.
解析 由an+1=an(1-2an+1),
可得-=2,
所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,
故=1+(n-1)×
2=2n-1,所以an=.
又bn=an·
an+1=
=,
所以S2019=
3.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________.
解析 由题意,得a2-a1=2,
a3-a2=4,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,
累加整理可得an=n2-n+33,n≥2,
当n=1时,a1=33也满足,
∴=n+-1(n∈N*).
由函数f(x)=x+-1(x>0)的单调性可知,
的最小值为f(5),f(6)中较小的一个.
又f(6)=,f(5)=,
∴min=.
解题秘籍
(1)利用an=Sn-Sn-1寻找数列的关系,一定要注意n≥2这个条件.
(2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解,但要考虑最值取到的条件.
1.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}的前6项的和为________.
答案 -24
解析 由已知条件可得a1=1,d≠0,
由a=a2a6,可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),
解得d=-2.
所以S6=6×
1+=-24.
2.设等比数列{an}的前6项和S6=6,且1-为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=________.
答案 8
解析 依题意得a1+a3=2-a2,即S3=a1+a2+a3=2,数列S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即数列2,4,S9-S6成等比数列,于是有S9-S6=8,即a7+a8+a9=8.
3.已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=________.
解析 由an+1-an=2可得数列{an}是等差数列,公差d=2,又a1=-5,所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=5+3+1+1+3+5=18.
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是________.
答案 5
解析 ===
==
=7+,
验证知,当n=1,2,3,5,11时为整数.
5.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=________.
答案 2n
解析 设等比数列{an}的公比为q,由于{an+1}也是等比数列,所以(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即a+2a2+1=a1a3+a1+a3+1,即2a2=a1+a3,即2q=1+q2,解得q=1,所以数列{an}是常数列,所以Sn=2n.
6.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若=3,则=________.
解析 设S2=k,则S4=3k,
由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,
又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k,
∴S6=7k,∴==.
7.设{an}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是________.
①2X+Z=3Y;
②4X+Z=4Y;
③2X+3Z=7Y;
④8X+Z=6Y.
答案 ④
解析 根据等差数列的性质X,Y-X,S3n-Y,Z-S3n成等差数列,∵2(Y-X)=X+S3n-Y,∴S3n=3Y-3X,
又2(S3n-Y)=(Y-X)+(Z-S3n),
∴4Y-6X=Y-X+Z-3Y+3X,
∴8X+Z=6Y.
8.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…+=________.
解析 由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,
则a2-a1=1+1,
a3-a2=2+1,
a4-a3=3+1,
…,
an-an-1=(n-1)+1,n≥2.
以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1,n≥2,把a1=1代入上式得,
an=1+2+3+…+(n-1)+n=,n≥2,