江苏专用高考数学二轮复习第二篇第24练数列试题理Word格式文档下载.docx

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得3＝2a1＋×

d＋4a1＋×

d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，

故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×

（－3）＝－10.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a9＝1，S18＝0，则Sn取最大值时n的值为________.

答案　9

解析　方法一　设公差为d，

则a1＋8d＝1且18a1＋d＝0，

解得a1＝17，d＝－2，所以Sn＝17n－n（n－1）＝－n2＋18n，

当n＝9时，Sn取最大值.

方法二　因为S18＝×

18＝0，

所以a1＋a18＝a9＋a10＝0，

所以a10＝－1，

即数列{an}中前9项为正值，从第10项开始为负值，故其前9项之和最大.

3.（2018·

江苏高考冲刺预测卷）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝，且a2a8＝2a5＋3，则a9＝________.

答案　18

解析　∵a2a8＝2a5＋3，∴a＝2a5＋3，

解得a5＝3（舍负），即a1q4＝3，则q4＝6，a9＝a1q8＝×

36＝18.

4.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>

1，令bn＝an＋1（n＝1,2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

答案　－9

解析　由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<

0，又∵|q|>

1，∴{an}的连续四项为－24,36，

－54,81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.

考点二　数列的通项与求和

方法技巧　

（1）已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.

（2）利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况.

5.数列{an}满足a1＝0，－＝1（n≥2，n∈N*），则a2019＝________.

答案　

解析　∵数列{an}满足a1＝0，－＝1（n≥2，n∈N*），∴＝1，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，

∴＝1＋（n－1）×

1＝n，

∴＝2019，解得a2019＝.

6.已知数列{an}满足a1a2a3…an＝（n∈N*），且对任意n∈N*都有＋＋…＋<

t，则t的取值范围为________.

解析　∵数列{an}满足a1a2a3…an＝（n∈N*），

∴当n＝1时，a1＝2；

当n≥2时，a1a2a3…an－1＝，

可得an＝22n－1，n≥2，当n＝1时，a1＝2满足上式，

∴＝，数列为等比数列，首项为，公比为.

∴＋＋…＋＝＝<

.

∵对任意n∈N*都有＋＋…＋<

t，

∴t的取值范围是.

7.（2018·

全国Ⅰ）记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

答案　－63

解析　∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，

∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），

即an＝2an－1（n≥2）.

当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.

∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，

∴Sn＝＝＝1－2n，

∴S6＝1－26＝－63.

8.在已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2019＝________.

解析　当n≥2时，由＝1，

得2（Sn－Sn－1）＝anSn－S＝－SnSn－1，

所以－＝1，又＝＝2，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以＝n＋1，故Sn＝，则S2019＝.

考点三　数列的综合应用

方法技巧　

（1）以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项an、前n项和Sn的关系.

（2）和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.

9.已知函数f（x）＝x2＋ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为________.

解析　因为f（x）＝x2＋ax，所以f′（x）＝2x＋a，又函数f（x）＝x2＋ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′（0）＝a＝2，所以f（x）＝x2＋2x，所以＝＝，

所以S20＝

＝×

＝.

10.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝（c，d）的模为________.

答案　1

解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝（c，d）的模为1.

11.设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.

答案　64

解析　由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5，

两式相除得＝，解得q＝，a1＝8，

所以a1a2…an＝8n·

1＋2＋…＋（n－1）＝，

抛物线f（n）＝－＋的对称轴为n＝＝，

又n∈N*，所以当n＝3或4时，a1a2…an取最大值为＝26＝64.

12.已知函数f（x）＝3|x＋5|－2|x＋2|，数列{an}满足a1<

－2，an＋1＝f（an），n∈N*.若要使数列{an}成等差数列，则a1的取值集合为______________.

解析　因为f（x）＝

所以若数列{an}成等差数列，则当a1为直线y＝x＋11与直线y＝－x－11的交点的横坐标，即a1＝－11时，数列{an}是以－11为首项，11为公差的等差数列；

当f（a1）＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－时，数列{an}是以0为公差的等差数列，因此a1的取值集合为.

1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n＞1时，Sn＋1＋Sn－1＝2（Sn＋S1）都成立，则S15＝________.

答案　211

解析　当n＞1时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，

∴an＋1＝an＋2，n≥2，

∴an＋1－an＝2，n≥2.

∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，

∴S15＝a1＋（a2＋…＋a15）＝1＋×

14＝211.

2.已知数列{an}满足：

an＋1＝an（1－2an＋1），a1＝1，数列{bn}满足：

bn＝an·

an＋1，则数列{bn}的前2019项的和S2019＝________.

解析　由an＋1＝an（1－2an＋1），

可得－＝2，

所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

故＝1＋（n－1）×

2＝2n－1，所以an＝.

又bn＝an·

an＋1＝

＝，

所以S2019＝

3.已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________.

解析　由题意，得a2－a1＝2，

a3－a2＝4，…，an－an－1＝2（n－1），n≥2，

累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，

当n＝1时，a1＝33也满足，

∴＝n＋－1（n∈N*）.

由函数f（x）＝x＋－1（x＞0）的单调性可知，

的最小值为f（5），f（6）中较小的一个.

又f（6）＝，f（5）＝，

∴min＝.

解题秘籍　

（1）利用an＝Sn－Sn－1寻找数列的关系，一定要注意n≥2这个条件.

（2）数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件.

1.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项的和为________.

答案　－24

解析　由已知条件可得a1＝1，d≠0，

由a＝a2a6，可得（1＋2d）2＝（1＋d）（1＋5d），

解得d＝－2.

所以S6＝6×

1＋＝－24.

2.设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝________.

答案　8

解析　依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－S6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8.

3.已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.

解析　由an＋1－an＝2可得数列{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.

4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是________.

答案　5

解析　＝＝＝

＝＝

＝7＋，

验证知，当n＝1,2,3,5,11时为整数.

5.在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn＝________.

答案　2n

解析　设等比数列{an}的公比为q，由于{an＋1}也是等比数列，所以（a2＋1）2＝（a1＋1）（a3＋1），即a＋2a2＋1＝a1a3＋a1＋a3＋1，即2a2＝a1＋a3，即2q＝1＋q2，解得q＝1，所以数列{an}是常数列，所以Sn＝2n.

6.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________.

解析　设S2＝k，则S4＝3k，

由数列{an}为等比数列（易知数列{an}的公比q≠－1），得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，

又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，

∴S6＝7k，∴＝＝.

7.设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是________.

①2X＋Z＝3Y；

②4X＋Z＝4Y；

③2X＋3Z＝7Y；

④8X＋Z＝6Y.

答案　④

解析　根据等差数列的性质X，Y－X，S3n－Y，Z－S3n成等差数列，∵2（Y－X）＝X＋S3n－Y，∴S3n＝3Y－3X，

又2（S3n－Y）＝（Y－X）＋（Z－S3n），

∴4Y－6X＝Y－X＋Z－3Y＋3X，

∴8X＋Z＝6Y.

8.若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＝________.

解析　由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，

则a2－a1＝1＋1，

a3－a2＝2＋1，

a4－a3＝3＋1，

…，

an－an－1＝（n－1）＋1，n≥2.

以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n－1，n≥2，把a1＝1代入上式得，

an＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n＝，n≥2，