初中数学竞赛圆4.四点共圆Word文件下载.docx
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C
B
A
D
F
【例2】如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点E、F．求证：
A、D、E、F四点共圆．
【例3】如图，⊙、⊙相交于、两点，是延长线上一点，割线交⊙于、，割线交⊙于、，求证：
、、、四点共圆．
【例4】如图7-56，在△ABC中，AD=AE，BE与CD交于点P，DP=EP，求证：
B、C、E、D四点共圆．
【例5】如图，已知是⊙的内接三角形，⊙的直径交于，于，延长交于，求证：
．
O
G
【例6】如图7－63，在的对角线上，任取一点P，过点P作AB、CD的公垂线EG，又作AD、BC的公垂线FM．求证：
EF//GM．
【例7】如图7-66，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE⊥AC，AF⊥BD，点E、F是垂足．求证：
EF//BC．
【例8】如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E．求证：
E、F、C、B四点共圆．
【例9】如图，已知：
，．求证：
是等腰三角形．
二.综合提高
【例10】如图7-61，在⊙O中，AB∥CD，点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为弧上任一点，连EF交AB于点G．求证：
P、G、E、D四点共圆．
【例11】如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BM=MC，过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：
AF⊥BE．
【例12】如图7－64，P为△ABC外接圆一任意一点，点P到△ABC三边的垂足分别为D、E、F三点成一直线．
【例13】如图7-65，在中，过D、B两点作一圆，交平行四边形四条边（或它们的延长线）于点E、F、G、H．求证：
EF//GH．
【例14】如图7-67，AB为半圆的直径，弦AC、BD相交于点H，HP⊥AB．求证：
∠1＝∠2．
【例15】如图7－68，四边形ABCD是正方形，点E为BC上的任一点，AE⊥EF，EF交∠BCD的外角平分线于点F．求证：
EA=EF．
【例16】在等边三角形中，、分别是边、上的点，且有，连结、交于点，求证：
【例17】设凸四边形的对角线、互相垂直，垂足为，证明：
点关于、、、的对称点共圆．
【例18】证明：
三角形的三条高交于一点．
【例19】已知在凸五边形中，，且，求
证：
【例20】如图所示，设是正九变形，为其外接圆的圆心，和是的两相邻边，为的中点，而为垂直于的圆半径的中点，试求与的夹角．
R
Q
【例21】如图，已知内接于，、为的切线，作，交于，连结并延长交于，求证：
【例22】如图，在凸四边形的边上取和（点比更靠近点）．已知及，证明：
【例23】如图，在平行四边形中，为钝角，且．
（1）求证：
四点共圆；
（2）设线段与
（1）中的圆交于．求证：
【例24】正方形的中心为，面积为，为正方形内的一点，且，，求．
【例25】如图，已知中，是高，是角平分线，且．
求证：
（1）；
（2）．
【例26】如图，⊙为的外接圆，，为、上高、的交点，在上取点，使．连结，求证：
H
M
【例27】如图，是的直径，弦交于点，点是弧上一点，和交于点．，垂足为，求证：
三.过三点的圆
【例28】如图，四边形中，，若，，则_______，
__________．
【例29】已知凸四边形，，，求证：
思维飞跃
【例30】如图，直线和与分别相切于，为圆上一点，到得距离分别为，试求到的距离．
【例31】如图，中，，边上的高线与的两条内角平分线、分别交于、两点．、的中点分别为、．求证：
N
【例32】如图，已知是正外接圆的弧上的任一点．求证：
【例33】如图，、切圆于和，交于，过任作一弦，求证：
【例34】如图，为⊙的直径，为⊙外一点，过引圆的两条切线，切点分别为、，与交于点，求证：
作业
1.在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H．求证：
点H是△DEF的内心．
2.已知是圆的直径，为圆的切线，和是圆的割线，分别交圆于、，求证：
3.已知中，，是高，为上任一点，的中垂线交于，求证：
4.如图，设四边形的两组对边、及、的交点分别为、．若、的平分线互相垂直，则、、、四点共圆．
5.如图，、切⊙于、两点，过作割线交⊙于、，过作，连结交于，求证：
为的中点．
6.过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为，所作割线交圆于两点，在之间．在弦上取一点，使．求证：
13
思维的发掘能力的飞跃
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