高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题Word文档下载推荐.doc

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（Ⅰ）依题意有

由于，故

又，从而5分

（Ⅱ）由已知可得

故

从而10分

例已知数列满足，.

令，证明：

是等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式。

（1）证

当时，

所以是以1为首项，为公比的等比数列。

（2）解由

（1）知

当时，。

所以。

例设数列的前项和为，已知

（Ⅰ）证明：

当时，是等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式

解由题意知，且

两式相减得

即①

（Ⅰ）当时，由①知

于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即

当时，由由①得

因此

得

例在数列中，,

（I）设，求数列的通项公式;

（II）求数列的前项和

（I）由已知有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式:

（）

（II）由（I）知,

=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得=

例已知数列的前项和为，，且（为正整数）

（Ⅰ）求出数列的通项公式；

（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.

（Ⅰ），①当时，.②

由①-②，得..

又，，解得.

数列是首项为1，公比为的等比数列.

（为正整数）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.

数列单调递增，当时，数列中的最小项为，

必有，即实数的最大值为1

例各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有；

⑴求常数的值；

⑵求数列的通项公式；

⑶记，求数列的前项和。

（1）由及，得：

（2）由①

得②

由②—①，得

即：

由于数列各项均为正数，即

数列是首项为，公差为的等差数列，

数列的通项公式是

（3）由，得：

例在数列

（1）

（2）设

（3）求数列

解

（1）

（2）对于任意

=，

数列是首项为，公差为1的等差数列.

（3）由

（2）得，

，

即

设

则

两式相减得，

整理得，

从而

例已知数列的首项，前n项和.

（Ⅰ）求证：

;

（Ⅱ）记，为的前n项和，求的值.

（1）由①，得②，

②-①得：

.

（2）由求得.

∴，

∴.

又，从而

（Ⅱ）由已知可得故

从而

例已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.

（1）求q的值；

（2）设数列的前项和为，试判断是否成等差数列？

说明理由.

（1）依题意，得2am+2=am+1+am

∴2a1qm+1=a1qm+a1qm–1

在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，

∴2q2=q+1，解得q=1或.

（2）若q=1，Sm+Sm+1=ma1+（m+1）a1=（2m+1）a1，Sm+2=（m+2）a1

∵a1≠0，∴2Sm+2≠Sm+Sm+1

若q=，Sm+1=

Sm+Sm+1==

∴2Sm+2=Sm+Sm+1

故当q=1时，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列；

当q=时，Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

例6已知数列中，，且对时

有．

（Ⅰ）设数列满足，证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前n项和

（Ⅰ）证明：

由条件，得，

则．

即，所以，．

所以是首项为2，公比为2的等比数列．

，所以．

两边同除以，可得．

于是为以首项，－为公差的等差数列．

所以．

（Ⅱ），令，则．

而．

∴．

∴．

令Tn＝， ①

则2Tn＝． ②

①－②，得Tn＝，Tn＝．

例7已知数列满足，且当，时，有

（1）求证：

数列为等差数列；

（2）试问是否为数列中的项？

如果是，是第几项；

如果不是，请说明理由.

证明：

（1）由得

即

上式两边同时除以得

又，是首项为5，公差为4的等差数列

（2）又

（1）知，即

，

令，解得

所以是数列的第11项

例8设数列满足且

（Ⅰ）求的值，使得数列为等比数列；

（Ⅱ）求数列和的通项公式；

（Ⅲ）令数列和的前项和分别为和，求极限的值．

（Ⅰ）令，其中为常数，若为等比数列，则存在使得

．

又．

由此得

由及已知递推式可求得，把它们代入上式后得方程组

消去解得．

下面验证当时，数列为等比数列．

，

，从而是公比为的等比数列．

同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得

，．

（Ⅲ）令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为；

令数列的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前项和为．

由第（Ⅱ）问得，．

．

由于数列的公比，则．

，由于，则，

于是，所以

例9数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，且，求证:

对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；

（Ⅲ）正数数列中，.求数列中的最大项.

（Ⅰ）解：

由已知：

对于，总有①成立

∴（n≥2）②

①--②得

∴

∵均为正数，∴（n≥2）

∴数列是公差为1的等差数列

又n=1时，，解得=1

∴.（）

（Ⅱ）证明：

∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.

（Ⅲ）解：

由已知，

易得　

猜想n≥2时，是递减数列.

令

∵当

∴在内为单调递减函数.

由.

∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.

又,∴数列中的最大项为.

例10设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。

（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

（2）（方法一）=,设，

则=,所以为8的约数

（方法二）因为为数列中的项，

故为整数，又由

（1）知：

为奇数，所以

经检验，符合题意的正整数只有。

例12数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。

（I）求的值；

（II）求的通项公式。

（I），，，因为，，成等比数列，

所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于，，

，所以。

又，，故．当n=1时，上式也成立，所以

例13已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．

（1）求数列的通项公式．

（2）若，求数列的前项和．

（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.

（1）点都在函数的图像上，,

当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为

（2）由求导可得

过点的切线的斜率为，.

.

①

由①×

4，得

②

①-②得：

（3）,.

又，其中是中的最小数，.

是公差是4的倍数，.

又，,解得ｍ＝27.

所以，

设等差数列的公差为，则

，所以的通项公式为

例14已知是数列的前项和，，且，其中.

（1）求数列的通项公式；

（2）求.

又也满足上式，（）

数列是公比为2，首项为的等比数列