捕鱼问题数学建模论文.doc

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捕鱼问题

摘要

就个体渔业养殖户而言，其经济效益会受到捕捞水位等多方面因素的影响．依据题中所给的影响因素，如果不能进行合理的计划，就会导致个体渔业养殖户经济效益的下降，甚至使其遇到破产危机．因此，有必要通过建立合理的数学模型的方法，求得最佳的捕捞计划，从而使个体渔业养殖户的经济效益达到最佳．

问题一：

以日供应量为研究对象，采用分段函数的方法，将日供应量分为四个阶段,其范围分别为：

，，，，列出各阶段销售收益随供应量的变化的函数关系为：

问题二：

首先，以水位高度为研究对象，由题意得水位高度和时间为线性关系；其次，以捕捞成本为研究对象，捕捞成本和水位高度之间满足二次非线性关系，将已知的两点带人所关系得出捕捞成本与水位高度的函数关系；最后，联立上述所得的两个函数，得出捕捞成本随时间的变化函数关系为：

问题三：

当水位下降时，捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，据查询的资料得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型，最终得出其函数模型，联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系为：

问题四：

最优问题，用目标规划．目标函数为最大的总经济效益最大,总的经济效益由每一天都的经济利润组成．每天的经济利润由销售效益、捕鱼成本和损失率组成，成本和损失率是随时间的变化，建立相应的目标规划模型，用lingo软件求解得出最大利润．

关键词：

分段函数反比例函数目标规划MATLAB软件LINGO软件

一、问题重述

已知日供应量在400公斤以下，价格为20元/公斤，日供应量在400—1200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤，当水位于10米时，捕捞成本为每公斤5元，当水位降至2米时，为1元/公斤，随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位2米时损失率为20%，联系鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变化率随水位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况下，解决以下的几个问题：

问题1：

建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系；

问题2：

建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系；

问题3：

讨论损失率与水位关系，并进一步建立简明合理的草鱼损失率随时间变化的函数关系；

问题4：

如何捕捞并将鲜活草鱼投放市场，效益最佳？

二、模型假设

1.假设不考虑草鱼的出生率与死亡率；

2.假设草鱼体重不变；

3.假设草鱼的损失率是自捕捞后到死亡的数量；

4.假设成本不会出现意外的变故；

5.假设市场价格在一定的时间段内维持题目已知的规律；

三、符号说明

日供应量

z

销售收益

水位高度

捕捞成本

天数

每日捕捞量

0-1变量，=1表示第i天的价格在第j种情况

日利润

总利润

四、问题分析

针对第一问，随着供应量的变化，草鱼的单价在不断的变化，而销售收益为单价与供应量的乘积，即销售收益与供应量的函数关系为分段函数，求得函数之后再用MATLAB制图．

针对第二问，由于水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快，所以设其为二次函数，将水深与时间的一次函数带入即可得到章鱼的捕捞成本随时间的函数关系，求得函数之后再用MATLAB制图．

针对第三问，水深降低时，捕鱼的损失率也呈加速增加，所以并不能单纯地考虑用一次函数，应设其为反函数，将水深与时间的一次函数带入即可得到章鱼的损失率随时间的函数关系，求得函数之后再用MATLAB制图．

针对第四问，要求最佳的效益，就必须求得每天的捕鱼量、损失率、捕捞成本，建立相应的目标函数、约束条件，最后用LINGO求解．

五、模型的建立与求解

5.1草鱼的销售收益与供应量的关系：

销售收益即为供应量与单价的积，题中已知鱼的供应量在400kg以下，价格为20元/kg，日供应量在400—1200公斤，超过部分价格降至18元/公斤，日供应量超过1200公斤时，超过部分价格降至15元/公斤以下，日供应量到1800公斤处于饱和。

据此可得出草鱼的销售收益随供应量量变化的分段函数关系．

1）日供应量,销售收益；

2）日供应量,销售收益；

3）日供应量,销售收益；

4）日供应量，销售收益为31400；

即可列此分段函数：

用Matlab对上述函数作图如下：

草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系

图一

5.2草鱼的捕捞成本与时间的关系：

建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系需要先确定水位随时间的变化关系然后确定水位与捕捞成本之间的函数关系．水位是一个中间变化量通过水位可以将捕捞成本与时间的函数关系表达出来．

因为水库现有水位为10m，自然放水每天水位降低0.4m，水位最低为2m．所以水位与时间的函数关系为：

捕捞成本与水位的实际情况应该是随着水位的降低，最初几天水位降低引起捕捞成本快速减少，时间越接近20时水位的降低引起的捕捞成本则是缓慢减少，所以我们可以以将捕捞成本与水位的函数关系近似的认为是一个二次函数，函数关系为：

因为这个函数关系必须通过（10，5）和（2，1）两个点，将这两个点带入C函数得到：

即

作图如下：

捕捞成本与水深的关系图

图二

将带入上式得到捕捞成本随时间变化的函数关系：

使用Matlab软件对上述函数作图如下：

捕捞成本与时间的关系图

图三

5.3草鱼的损失率与时间的关系：

由实践经验总结，水位匀速下降时，捕鱼的损失率加速增大，并且其损失率会加速增大，即水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型．然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系．

其基本模型为：

将最低水位2米时损失率为20%代入基本模型，即可以求出，所以损失率与水位的关系：

作图如下：

水深与损失率的关系图

图四

　　再联系水位与时间的关系将其带入损失率与水位的关系式中，即得出损失率与时间的关系：

使用Matlab软件对上述函数作图如下：

损失率与时间的关系图

图五

5.4最佳效益的捕捞方案：

该问属于优化问题即求得总的最优利益，将总的最优利益分为每一天的最优利益，每21天的最优利益之和就是总的最有利益．一天的最优利益为：

在一定的损失率的情况下最大的销售收益减去最小的成本就是最优的利益．设0-1变量为第i天的供应量为第j种情况，所以第i天的利益为：

可根据第二文中的成本与时间的函数关系得出；

根据第三问中的损失率与时间的函数关系得出；

的结果在附录中给出．

所以目标函数为：

约束条件为：

1）每天的供应量只能为三种情况中的一种即：

2）20天的捕捞量之和不大于20000即：

；

3）每天的捕捞量大于0即：

通过Lingo求解（具体过程在附录中），可得如下结果：

总收益为：

321093.4元．每天的结果如下表：

天数

1

2

3

4

5

6

7

成本

5

4.75

4.44

4.14

3.85

3.58

3.32

捕捞量（公斤）

416.654

417.3847

418.1052

419.0675

420.1086

1263.102

1266.637

损失率

0

0.0417

0.0435

0.0455

0.0476

0.0500

0.0526

利益（元）

5884.530

6017.018

6143.34

6266.442

6384.587

17881.31

18199.12

天数

8

9

10

11

12

13

14

成本

3.07

2.84

2.62

2.41

2.22

2.04

1.87

捕捞量（公斤）

1270.658

1274.886

1285.781

2101.712

1300.046

1309.074

1319.872

损失率

0.0556

0.0588

0.0625

0.0667

0.0714

0.0769

0.0833

利益（元）

18499.22

18782.15

19035.79

26334.87

19519.27

19734.23

19929.95

天数

15

16

17

18

19

20

21

成本

1.72

1.58

1.45

1.34

1.24

1.15

1

捕捞量（公斤）

1333.196

1350.068

1371.362

1400.124

1439.906

500

223.9683

损失率

0.0909

0.1000

0.1111

0.1250

0.1429

0.1667

0.2000

利益（元）

20109.08

20272.48

20410.48

20529.15

20617

7425

3118.377

表一

六、模型的评价与改进

　　本文运用MATLAB制图，明了、形象，有利于问题的后期探讨．最后一问为目标规划模型，运用LINGO求解，准确、易解，并比较合理地求出了每天的捕捞量及最佳利润．但由于题目所给的数据不够，不能做到100%精确．对于模型的改进，应该增加数据量以便提高模型的精确度,应考虑到鱼的自然死亡和生长．

参考文献

[1]崔国华.2000.计算方法.武汉：

华中理工大学出版社.

[2]卓金武，魏永生，秦建，李必文．Matlab在数学建模中的应用[M]．北京：

北京航空航天大学出版社，2011．

[3]胡运权，郭耀煌.运筹学教程.清华大学出版社，2010.

[4]韩中庚.《数学建模方法及其应用》.高等教育出版社.2009.

[5]刘卫国.2005.MATLAB程序设计教程.北京：

中国水利水电出版社.

附录

附录一：

使用Matlab软件，运行程序：

>>x1=[1:

100:

400];

y1=20*x1;

x2=[401:

100:

1200];

y2=8000+18*（x2-400）;

x3=[1201:

100:

1800];

y3=22400+15*（x3-1200）;

x4=[1801:

1000:

20000];

y4=31400;

plot（x1,y1,'-k.',x2,y2,'-b',x3,y3,'-r^',x4,y4,'-g.'）;

xlabel（'捕捞量单位：

kg'）;

ylabel（'收益单位：

元'）;

legend（'捕捞量小于400kg','捕捞量大于400kg,小于1200kg','捕捞量1200kg，1800kg','捕捞量大于1800小于20000','NorthEastOutside'）

title（'草