双曲线93007Word格式文档下载.docx

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教学难点

直线与双曲线的位置关系的判定和综合性题目的解决

教学过程

一、复习预习

1．直线的方程，曲线与方程；

2．圆锥曲线轨迹方程的的求法；

3．双曲线的定义和性质；

4．直线与圆锥曲线的位置关系和判定。

二、知识讲解

考点1双曲线的概念

平面内与两个定点F1，F2（|F1F2|＝2c＞0）的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>

0，c>

0；

（1）当a<

c时，P点的轨迹是双曲线；

（2）当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；

（3）当a>

c时，P点不存在．

考点2双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

－＝1

（a>

0，b>

0）

图　形

性　　质

范　围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：

坐标轴

对称中心：

原点

顶点

A1（－a,0），A2（a,0）

A1（0，－a），A2（0，a）

渐近线

y＝±

x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；

a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c的关系

c2＝a2＋b2（c＞a＞0，c＞b＞0）

三、例题精析

【例题1】

双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．

【答案】16

【解析】由已知，双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为2×

8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.

【例题2】

设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（　　）．

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

【答案】A

【解析】由题意知椭圆C1的焦点坐标为：

F1（－5,0），F2（5,0）．

设曲线C2上的一点P.则||PF1|－|PF2||＝8.

由双曲线的定义知：

a＝4，b＝3.

故曲线C2的标准方程为－＝1.

【例题3】

已知椭圆C1：

＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：

x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（　　）．

A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝2

【答案】C

【解析】依题意a2－b2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y＝2x，由，解得x＝±

，故被椭圆截得的弦长为，又C1把AB三等分，所以＝，两边平方并整理得a2＝11b2，代入a2－b2＝5得b2＝.

四、课堂运用

【基础】

1．双曲线－＝1的焦距为（　　）．

A．3B．4C．3D．4

【解析】　由已知有c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，故双曲线的焦距为4.

【答案】　D

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（　　）．

A．2B．2C．4D．4

【解析】　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，所以实轴长2a＝4.

【答案】　C

3．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（　　）．

A．y＝±

xB．y＝±

2x

C．y＝±

xD．y＝±

【解析】　由题意得b＝1，c＝.∴a＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±

x，即y＝±

x.

4．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：

x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

（　　）．

A.－＝1B.－＝1

【解析】　圆心的坐标是（3,0），圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±

ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.

【答案】　A

5．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．

【解析】　由渐近线方程y＝x，且b＝3，得a＝2，由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝4，又|PF1|＝3，∴|PF2|＝7.

【答案】　7

【巩固】

1.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．

【解析】　由题易知，双曲线的右焦点为（4,0），点M的坐标为（3，）或（3，－），则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.

【答案】　4

2.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．

【解析】　∵双曲线的渐近线为y＝x，∴＝，①

∵双曲线的一个焦点与y2＝16x的焦点相同．

∴c＝4.②

∴由①②可知a2＝4，b2＝12.

∴双曲线的方程为－＝1.

【答案】　－＝1.

3.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）．

A.B.C.D.

【解析】　设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F（c,0），B（0，b），则kBF＝－，双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

∴－·

＝－1，即b2＝ac，c2－a2＝ac，∴e2－e－1＝0，解得e＝.又e＞1，∴e＝.

【答案】　D　　

【拔高】

1.设双曲线－＝1（b＞a＞0）的半焦距为c，直线l过（a,0），（0，b）两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．

【答案】e＝2.

【解析】由l过两点（a,0）、（0，b），得l的方程为bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c，得＝c.

将b＝代入，平方后整理，得

162－16×

＋3＝0.

令＝x，则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.

由e＝，得e＝，故e＝或e＝2.

∵0＜a＜b，∴e＝＝＝＞，

∴应舍去e＝，故所求离心率e＝2.

2.求适合下列条件的双曲线方程．

（1）焦点在y轴上，且过点（3，－4）、.

（2）已知双曲线的渐近线方程为2x±

3y＝0，且双曲线经过点P（，2）．

【答案】y2－x2＝1.

【解析】

（1）设所求双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），则因为点（3，－4），在双曲线上，

所以点的坐标满足方程，由此得

令m＝，n＝，则方程组化为

解方程组得

∴a2＝16，b2＝9.所求双曲线方程为－＝1.

（2）由双曲线的渐近线方程y＝±

可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）．

∵双曲线过点P（，2），∴－＝λ，λ＝－，

故所求双曲线方程为y2－x2＝1.

课程小结

两种方法

（1）定义法：

由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程．

（2）待定系数法：

先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；

如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ（λ≠0），再根据条件求λ的值．

三个防范

（1）区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.

（2）双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈（0,1）．

（3）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y＝±

x，－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y＝±

课后作业

1．已知F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲

A．4＋2B.－1

C.D.＋1

【解析】（数形结合法）因为MF的中点P在双曲线上，

|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，

所以e＝＝＝＋1，故选D.

2．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）．

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

【解析】　由题意可知，解得，因此选B.

【答案】　B

3．设双曲线－＝1（a＞0）的渐近线方程为3x±

2y＝0，则a的值为（　　）．

A．4B．3C．2D．1

【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±

ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.

4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　）．

A.B.C．2D．3

【解析】设双曲线C的方程为－＝1，焦点F（－c,0），将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×

＝2×

2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.

5．（2011·

青岛模拟）设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·

＝0，则|＋|＝（　　）．

A.B．2C.D．2

【解析】　如图，由·

＝0可得⊥，

又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF1QF2

为矩形，因为矩形的对角线相等，

故有|＋|＝||＝2c＝2.

1．若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.

【解析　由已知得e＝＝＝＝2.

∴m＝48.

【答案】48

2．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为（，0），则该双曲线的渐近线方程为________．

【解析】　∵焦点坐标是（，0），∴9＋a＝13，即a＝4，

∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为±

＝0，即2x±

3y＝0.

【答案】　2x±

3y＝0

3．设双曲线的渐近线方程为2x±

3y＝0，则双曲线的离心率为________．

【解析】　当焦点在x轴上时，＝，即＝，所以e2＝，解得e＝；

当焦点在y轴上时，＝，即＝，所以e2＝，解得e＝，即双曲线的离心率为或.

【答案】　或

1．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1），则双曲线的焦距为（　　）．

【解析】　由题意得⇒⇒

c＝＝.∴双曲线的焦距2c＝2.

2．如下图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以F1，F2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e1，e2，则（　　）．