数学河南省洛阳市届高三上学期期中考试文附答案Word下载.docx
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4．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，＋∞）时，（x－1）f′（x）－f（x）（x－1）′>
0恒成立，若a＝f
（2）,b＝
f（3）,c＝
f（
），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c<
a<
bB．a<
b<
c
C．b<
cD．a<
c<
b
5．已知f（n）＝
＋
＋…＋
，则（ ）
A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f
（2）＝
B．f（n）中共有n＋1项，当n＝2时，f
（2）＝
C．f（n）中共有n2－n项，当n＝2时，f
（2）＝
D．f（n）中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f
（2）＝
6．已知复数z满足z（1＋i）＝i，则复数z的共轭复数为（ ）
A.
iB.
－
i
C．1＋iD．1－i
7．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）>
f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（ ）．
A．f（a）<
eaf（0）B．f（a）>
eaf（0）
C．f（a）<
D．f（a）>
8．由直线x＝
，x＝
，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
B．1C.
D.
9．已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的导函数为f′（x），且f′（0）＞0，f（x）的图象与x轴恰有一个
交点，则
的最小值为（ ）
A．3B.
C．2D.
10．设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g
（1））处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处切线的斜率为（ ）
A．4B．－
C.2D.
11．设f（x）＝（x－a）（x－b）（x－c）（a，b，c是两两不等的常数），则
的
值是________．
12．函数f（x）＝x3＋
x2－6x＋m的图象不过第Ⅱ象限，则m的取值范围是________．
13．已知函数f（x）＝ax＋e2x没有极值点，则实数a的取值范围是________．
14．在等比数列{an}中，若前n项之积为Tn，则有T3n＝（
）3.那么在等差数列{bn}中，若前n项之和为Sn，用类比的方法得到的结论是________．
15．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数，则f（n）＝________.
16．（本小题满分12分）已知复数ω＝（m2－2m－3）＋（m2－m－12）i，（m∈R，i为虚单位）．
（1）若ω为实数，求m的值；
（2）若复数ω对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
17．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝
（b∈R）．
（1）当b＝4时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间
上单调递增，求b的取值范围．
18．（本小题满分12分）设函数f（x）＝
－klnx，k>
0.
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：
若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
）上仅有一个零点．
19．（本小题满分12分）已知数列{an}，a1＝5且Sn－1＝an（n≥2，n∈N＋）．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；
（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式．
20．（本小题满分13分）已知函数f（x）＝alnx－
x＋
－1.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＝1，设g（x）＝－x2＋2bx－4，且满足对任意x1∈
，x2∈[1,2]，不等式恒f
≥g
成立，求实数b的取值范围．
21．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝2a2lnx－x2（常数a>
0）．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在区间（1，e2）上零点的个数（e为自然对数的底数）．
参考答案
1.【答案】 B
【解析】 对f（x）＝x2＋2
f′f（x）dx两边积分得
f′f（x）dx＝
x2dx＋
dx，，
可得
x3|
＋[2
f′f（x）dx]
，
∴
f′f（x）dx＝－
.
2.【答案】 B
【解析】 S1＝
＝
，S2＝lnx|
＝ln2，S3＝e2－e，∴S2<
S3.
3.【答案】 B
【解析】 ∵
x∴
则
′>
0，g（x）＝
在（0,+
）上为增函数，
∴g
g
即
A错，
同理g
得3f
故选B.
4.【答案】 A
【解析】令g（x）＝
，当x∈（1,+
）时，
g′（x）＝
0,
∴g（x）在x∈（1,+
即c<
b.
5.【答案】 D
【解析】 ∵f（n）＝
∴f（n）中共有n2－n＋1项．f
（2）＝
.
6.【答案】 A
7.【答案】 B
【解析】
′＝
f
，f（a）>
8.【答案】 D
【解析】
cosxdx＝sinx|
9.【答案】 C
【解析】 f′
＝b＞0，f（x）的图象与x轴恰有一个交点
∴b2＝4ac，即b＝2
＋1≥2.
10.【答案】 A
【解析】 ∵g′
＝2，
又f′（x）＝g′（x）＋2x，f′
＝g′
＋2
∴f′
＝4，
曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处切线的斜率为4.
11.【答案】 0
12.【答案】 m≤－10
【解析】 由f（x）＝x3＋
x2－6x＋m，f′（x）＝3x2＋3x－6＝0,
得极值点x＝－2,1，
f（－2）＝－8＋6＋12＋m＝10＋m为极大值，
＝1＋
－6＋m＝－
＋m为极小值；
要使f（x）不过第2象限，当x<
0时，须有f（x）<
0；
因为函数在x<
－2单调增，在（－2,0）单调减，因此须有f（－2）≤0即10＋m≤0，
∴m≤－10.
13.【答案】 a≤0
【解析】 f′（x）＝a－2e－2x，
∵函数f（x）＝ax＋e2x没有极值点，
∴f′（x）≤0在R上恒成立，则a≤0.
14.【答案】 S3n＝3（S2n－Sn）
【解析】 由等比数列前n项积，前2n项的积，前3n项的积类比得到等差数列前n项的和，前2n项的和，前3n项的和，由等比数列中（
）3类比得等差数列中3（S2n－Sn），故有S3n＝3（S2n－Sn）．
15.【答案】 3n2－3n＋1
16.【解析】
（1）因为ω为实数，
所以m2－m－12＝0⇒m＝－3或m＝4.6分
（2）对应点第四象限得：
列出不等式组10分
所以－3<
m<
－1或3<
4.12分
17.【答案】
（1）f（x）取得极小值f（－2）＝0，f（x）取得极大值f（0）＝4
（2）b≤
【解析】
（1）当b＝2时，f（x）＝
2
的定义域为（－
）（1分）
f′（x）＝2
令f′（x）＝0，解得x1＝－2，x2＝0（3分）
当x<
－2和0<
x<
时，f′（x）<
0，
所以f（x）在
上单调递减；
当－2<
时，f′（x）>
上单调递增；
所以，当x＝－2时，f（x）取得极小值f（－2）＝0；
当x＝
时，f（x）取得极大值f（0）＝4.（6分）
（2）f（x）在
上单调递增⇔f′（x）≥0，且不恒等于0对x∈
恒成立7分
f′（x）＝
∴－5x2－3bx＋2x≥08分
∴b≤
min10分
∵
11分
.12分
18.【答案】
（1）f（x）的单调递减区间是（0，
），单调递增区间是（
，＋∞）；
f（x）在x＝
处取得极小值f（
）＝
【解析】
（1）由f（x）＝
－kInx（k>
0）得f（x）＝x－
由f′（x）＝0解得x＝
.（2分）
f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的情况如下：
x
（0，
）
（
＋∞）
f′（x）
f（x）
递减
递增
所以，f（x）的单调递减区间是（0，
.（6分）
（2）由
（1）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值f（
因为f（x）存在零点，所以
≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f（x）在区间上单调递减，且f（
）＝0，
所以x＝
是f（x）在区间（1，
）上的唯一零点．
当k>
e时，f（x）在区间（1，
）上单调递减，
且f
（1）＝
0，f（
所以f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点．
综上可知，若f（x）存在零点，
则f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点
19.【答案】
（1）an＝
（2）答案见解析
【解析】
（1）由已知，得a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
an＝
.（4分）
（2）①当n＝2时，a2＝5×
22－2＝5，表达式成立．
当n＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n≥2时结论亦成立．
②假设n＝k（k≥2，k∈N＋）时表达式成立，即ak＝5×
2k－2，
则当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋5×
2k－2
＝5＋
＝5×
2k－1
2（k＋1）－2.故当n＝k＋1时，表达式也成立．
由①②可知，对一切n（n≥2，n∈N＋）都有an＝5×
2n－2.（12分）
20.【答案】
（1）当a>
0时，函数f（x）的单调递增区间是（a,3a）；
单调递减区间是（0，a），（3a，
＋∞）．当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）单调递减
（2）（－∞，
]
【解析】
（1）f（x）＝alnx－
－1的定义域是
＝－
2分
①当a>
0时，函数f（x）的单调递增区间是（a,3a）；
单调递减区间是（0，a），（3a，＋∞）．
②当a≤0时，函数f（x）在（0，＋∞）单调递减.5分
（2）若对任意x1∈（0,2），x2∈[1,2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，
问题等价于f（x）min＝g（x）max,当a＝1时f（x）＝ln
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