离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx

离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx

《离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1）C∨D，（C∨D）E，E（A∧B），（A∧B）（R∨S）R∨S

（1）（C∨D）EP

（2）E（A∧B）P

（3）（C∨D）（A∧B）T

（1）

（2），I

（4）（A∧B）（R∨S）P

（5）（C∨D）（R∨S）T（3）（4），I

（6）C∨DP

（7）R∨ST（5），I

2）x（P（x）Q（y）∧R（x）），xP（x）Q（y）∧x（P（x）∧R（x））

证明

（1）xP（x）P

（2）P（a）T

（1），ES

（3）x（P（x）Q（y）∧R（x））P

（4）P（a）Q（y）∧R（a）T（3），US

（5）Q（y）∧R（a）T

（2）（4），I

（6）Q（y）T（5），I

（7）R（a）T（5），I

（8）P（a）∧R（a）T

（2）（7），I

（9）x（P（x）∧R（x））T（8），EG

（10）Q（y）∧x（P（x）∧R（x））T（6）（9），I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：

A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。

不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）（10分）。

∵xA-（B∪C）xA∧x（B∪C）

xA∧（xB∧xC）

（xA∧xB）∧（xA∧xC）

x（A-B）∧x（A-C）

x（A-B）∩（A-C）

∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：

R={<

x，y>

|x，yN∧y=x2}，S={<

|x，yN∧y=x+1}。

求R-1、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

R-1={<

y，x>

|x，yN∧y=x2}

R*S={<

|x，yN∧y=x2+1}

S*R={<

|x，yN∧y=（x+1）2}，R{1，2}={<

1，1>

，<

2，4>

}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={<

a，b>

b，c>

c，a>

}，求r（R）、s（R）和t（R）（15分）。

r（R）={<

a，a>

b，b>

c，c>

}

s（R）={<

b，a>

c，b>

a，c>

R2=R5={<

R3={<

R4={<

t（R）={<

，，<

八、证明整数集I上的模m同余关系R={<

|xy（modm）}是等价关系。

其中，xy（modm）的含义是x-y可以被m整除（15分）。

1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xx（modm），即xRx。

2）x，y∈I，若xRy，则xy（modm），即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以yx（modm），即yRx。

3）x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v∈I，因此xRz。

九、若f:

A→B和g:

B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

因为f、g是双射，所以gf：

A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：

C→A。

同理可推f-1g-1：

C→A是双射。

因为<

∈f-1g-1存在z（<

x，z>

∈g-1<

z，y>

∈f-1）存在z（<

y，z>

∈f<

z，x>

∈g）<

∈gf<

∈（gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。

离散数学试题（B卷答案2）

1）（（P∨Q）∧（P∧（Q∨R）））∨（P∧Q）∨（P∧R）T

左端（（P∨Q）∧（P∨（Q∧R）））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（摩根律）

（（P∨Q）∧（P∨Q）∧（P∨R））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（分配律）

（（P∨Q）∧（P∨R））∨（（P∨Q）∧（P∨R））（等幂律）

T（代入）

2）xy（P（x）Q（y））（xP（x）yQ（y））

xy（P（x）Q（y））xy（P（x）∨Q（y））

x（P（x）∨yQ（y））

xP（x）∨yQ（y）

xP（x）∨yQ（y）

（xP（x）yQ（y））

二、求命题公式（PQ）（P∨Q）的主析取范式和主合取范式（10分）

（PQ）（P∨Q）（PQ）∨（P∨Q）

（P∨Q）∨（P∨Q）

（P∧Q）∨（P∨Q）

（P∨P∨Q）∧（Q∨P∨Q）

（P∨Q）

M1

m0∨m2∨m3

1）（P（QS））∧（R∨P）∧QRS

（1）R

（2）R∨P

（3）P

（4）P（QS）

（5）QS

（6）Q

（7）S

（8）RS

2）x（A（x）yB（y）），x（B（x）yC（y））xA（x）yC（y）。

（1）x（A（x）yB（y））P

（2）A（a）yB（y）T

（1），ES

（3）x（B（x）yC（y））P

（4）x（B（x）C（））T（3），ES

（5）B（）C（）T（4），US

（6）A（a）B（）T

（2），US

（7）A（a）C（）T（5）（6），I

（8）xA（x）C（）T（7），UG

（9）xA（x）yC（y）T（8），EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解设P：

今天天气好，Q：

考试准时进行，A（e）：

e提前进入考场，个体域：

考生的集合，则命题可符号化为：

PxA（x），xA（x）QQP。

（1）PxA（x）P

（2）PxA（x）T

（1），E

（3）xA（x）PT

（2），E

（4）xA（x）QP

（5）（xA（x）Q）∧（QxA（x））T（4），E

（6）QxA（x）T（5），I

（7）QPT（6）（3），I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）（10分）

∵xA∩（B∪C）xA∧x（B∪C）xA∧（xB∨xC）（xA∧xB）∨（xA∧xC）x（A∩B）∨xA∩Cx（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、A={x1,x2,x3}，B={y1,y2}，R={<

x1,y1>

<

x2,y2>

x3,y2>

}，求其关系矩阵及关系图（10分）。

2,1>

2,5>

2,4>

3,4>

4,4>

5,2>

}，求r（R）、s（R）和t（R），并作出它们及R的关系图（15分）。

1,1>

2,2>

<

3,3>

5,5>

1,2>

4,2>

4,3>

R2=R5={<

5,1>

5,4>

八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠。

关系R满足：

x1，y1>

x2，y2>

>

∈R<

x1，x2>

∈R1且<

y1，y2>

∈R2，证明R是A×

B上的等价关系（10分）。

证明对任意的<

∈A×

B，由R1是A上的等价关系可得<

x，x>

∈R1，由R2是B上的等价关系可得<

y，y>

∈R2。

再由R的定义，有<

∈R，所以R是自反的。

对任意的<

、<

u，v>

B，若<

R<

，则<

x，u>

y，v>

由R1对称得<

u，x>

∈R1，由R2对称得<

v，y>

∈R，即<

，所以R是对称的。

s，t>

且<

∈R2，<

u，s>

v，t>

由<

∈R1、<

∈R1及R1的传递性得<

x，s>

∈R1，由<

∈R2、<

∈R2及R2的传递性得<

y，t>

∈R1。

，所以R是传递的。

综上可得，R是A×

B上的等价关系。

九、设f：

AB，g：

BC，h：

CA，证明：

如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f－1、g－1和h－1（10分）。

解因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；

因IB恒等函数，由fhg＝IB