离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx
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1)C∨D,(C∨D)E,E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S
(1)(C∨D)EP
(2)E(A∧B)P
(3)(C∨D)(A∧B)T
(1)
(2),I
(4)(A∧B)(R∨S)P
(5)(C∨D)(R∨S)T(3)(4),I
(6)C∨DP
(7)R∨ST(5),I
2)x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))
证明
(1)xP(x)P
(2)P(a)T
(1),ES
(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P
(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3),US
(5)Q(y)∧R(a)T
(2)(4),I
(6)Q(y)T(5),I
(7)R(a)T(5),I
(8)P(a)∧R(a)T
(2)(7),I
(9)x(P(x)∧R(x))T(8),EG
(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9),I
四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。
而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。
解:
A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。
则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。
先求|A∩B|。
∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。
于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。
不会打这三种球的人数25-20=5。
五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。
∵xA-(B∪C)xA∧x(B∪C)
xA∧(xB∧xC)
(xA∧xB)∧(xA∧xC)
x(A-B)∧x(A-C)
x(A-B)∩(A-C)
∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:
R={<
x,y>
|x,yN∧y=x2},S={<
|x,yN∧y=x+1}。
求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}](10分)。
R-1={<
y,x>
|x,yN∧y=x2}
R*S={<
|x,yN∧y=x2+1}
S*R={<
|x,yN∧y=(x+1)2},R{1,2}={<
1,1>
,<
2,4>
},S[{1,2}]={1,4}。
七、设R={<
a,b>
b,c>
c,a>
},求r(R)、s(R)和t(R)(15分)。
r(R)={<
a,a>
b,b>
c,c>
}
s(R)={<
b,a>
c,b>
a,c>
R2=R5={<
R3={<
R4={<
t(R)={<
,,<
八、证明整数集I上的模m同余关系R={<
|xy(modm)}是等价关系。
其中,xy(modm)的含义是x-y可以被m整除(15分)。
1)x∈I,因为(x-x)/m=0,所以xx(modm),即xRx。
2)x,y∈I,若xRy,则xy(modm),即(x-y)/m=k∈I,所以(y-x)/m=-k∈I,所以yx(modm),即yRx。
3)x,y,z∈I,若xRy,yRz,则(x-y)/m=u∈I,(y-z)/m=v∈I,于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v∈I,因此xRz。
九、若f:
A→B和g:
B→C是双射,则(gf)-1=f-1g-1(10分)。
因为f、g是双射,所以gf:
A→C是双射,所以gf有逆函数(gf)-1:
C→A。
同理可推f-1g-1:
C→A是双射。
因为<
∈f-1g-1存在z(<
x,z>
∈g-1<
z,y>
∈f-1)存在z(<
y,z>
∈f<
z,x>
∈g)<
∈gf<
∈(gf)-1,所以(gf)-1=f-1g-1。
离散数学试题(B卷答案2)
1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T
左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)
((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)
((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)
T(代入)
2)xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))
xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))
x(P(x)∨yQ(y))
xP(x)∨yQ(y)
xP(x)∨yQ(y)
(xP(x)yQ(y))
二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)
(P∨Q)∨(P∨Q)
(P∧Q)∨(P∨Q)
(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)
(P∨Q)
M1
m0∨m2∨m3
1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS
(1)R
(2)R∨P
(3)P
(4)P(QS)
(5)QS
(6)Q
(7)S
(8)RS
2)x(A(x)yB(y)),x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。
(1)x(A(x)yB(y))P
(2)A(a)yB(y)T
(1),ES
(3)x(B(x)yC(y))P
(4)x(B(x)C())T(3),ES
(5)B()C()T(4),US
(6)A(a)B()T
(2),US
(7)A(a)C()T(5)(6),I
(8)xA(x)C()T(7),UG
(9)xA(x)yC(y)T(8),EG
四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入考场,考试才能准时进行。
所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)。
解设P:
今天天气好,Q:
考试准时进行,A(e):
e提前进入考场,个体域:
考生的集合,则命题可符号化为:
PxA(x),xA(x)QQP。
(1)PxA(x)P
(2)PxA(x)T
(1),E
(3)xA(x)PT
(2),E
(4)xA(x)QP
(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4),E
(6)QxA(x)T(5),I
(7)QPT(6)(3),I
五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(10分)
∵xA∩(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∨xC)(xA∧xB)∨(xA∧xC)x(A∩B)∨xA∩Cx(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
六、A={x1,x2,x3},B={y1,y2},R={<
x1,y1>
<
x2,y2>
x3,y2>
},求其关系矩阵及关系图(10分)。
2,1>
2,5>
2,4>
3,4>
4,4>
5,2>
},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它们及R的关系图(15分)。
1,1>
2,2>
<
3,3>
5,5>
1,2>
4,2>
4,3>
R2=R5={<
5,1>
5,4>
八、设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠且B≠。
关系R满足:
x1,y1>
x2,y2>
>
∈R<
x1,x2>
∈R1且<
y1,y2>
∈R2,证明R是A×
B上的等价关系(10分)。
证明对任意的<
∈A×
B,由R1是A上的等价关系可得<
x,x>
∈R1,由R2是B上的等价关系可得<
y,y>
∈R2。
再由R的定义,有<
∈R,所以R是自反的。
对任意的<
、<
u,v>
B,若<
R<
,则<
x,u>
y,v>
由R1对称得<
u,x>
∈R1,由R2对称得<
v,y>
∈R,即<
,所以R是对称的。
s,t>
且<
∈R2,<
u,s>
v,t>
由<
∈R1、<
∈R1及R1的传递性得<
x,s>
∈R1,由<
∈R2、<
∈R2及R2的传递性得<
y,t>
∈R1。
,所以R是传递的。
综上可得,R是A×
B上的等价关系。
九、设f:
AB,g:
BC,h:
CA,证明:
如果hgf=IA,fhg=IB,gfh=IC,则f、g、h均为双射,并求出f-1、g-1和h-1(10分)。
解因IA恒等函数,由hgf=IA可得f是单射,h是满射;
因IB恒等函数,由fhg=IB