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离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx

1、1)CD, (CD) E, E (A B), (A B) (RS) RS(1) (CD) E P(2) E (A B) P(3) (CD) (A B) T(1)(2),I(4) (A B) (RS) P(5) (CD) (RS) T(3)(4), I(6) CD P(7) RS T(5),I 2) x(P(x) Q(y)R(x), xP(x) Q(y) x(P(x)R(x)证明(1) xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3) x(P(x) Q(y)R(x) P(4)P(a) Q(y)R(a) T(3),US(5)Q(y)R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R

2、(a) T(5),I(8)P(a)R(a) T(2)(7),I(9) x(P(x)R(x) T(8),EG(10)Q(y) x(P(x)R(x) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。解:A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12,|B|=6,|C|=14,|AC|=6,|BC|=5,|ABC|=2。先求|AB|。6=|(AC)B|=|(AB)(BC)|=|(AB)|+|(BC)|-|ABC|=|(AB)

3、|+5-2,|(AB)|=3。于是|ABC|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(BC)=(A-B)(A-C) (10分)。x A-(BC) x Ax (BC) x A(x Bx C) (x Ax B)(x Ax C) x (A-B)x (A-C) x (A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)(A-C)六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R=| x,y Ny=x2,S=| x,y Ny=x+1。求R-1、R*S、S*R、R1,2、S1,2(10分)。R-1=| x,y Ny=x2R*S=| x,y Ny=x2

4、+1S*R=| x,y Ny=(x+1)2,R1,2=,S1,2=1,4。七、设R=b,cc,a,求r(R)、s(R)和t(R) (15分)。r(R)=b,bc,cs(R)=c,ba,cR2= R5=R3=R4=t(R)=,八、证明整数集I上的模m同余关系R=|x y(mod m)是等价关系。其中,x y(mod m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。1) xI,因为(x-x)/m=0,所以x x(mod m),即xRx。2) x,yI,若xRy,则x y(mod m),即(x-y)/m=kI,所以(y - x)/m=-kI,所以y x(mod m),即yRx。3) x,y,zI,若xRy

5、,yRz,则(x-y)/m=uI,(y-z)/m=vI,于是(x-z)/m=(x-y+y-z)/m=u+v I,因此xRz。九、若f:AB和g:BC是双射,则(gf)-1=f-1g-1(10分)。因为f、g是双射,所以gf:AC是双射,所以gf有逆函数(gf)-1:CA。同理可推f-1g-1:CA是双射。因为f-1g-1 存在z(g-1 f-1) 存在z(f g) gf (gf)-1,所以(gf)-1=f-1g-1。离散数学试题(B卷答案2)1)(PQ) ( P( Q R)( P Q)( P R) T 左端 (PQ)(P(QR) (PQ)(PR)(摩根律) (PQ)(PQ)(PR) (PQ)(

6、PR)(分配律) (PQ)(PR) (PQ)(PR) (等幂律) T (代入)2) x y(P(x) Q(y) ( xP(x) yQ(y) x y(P(x) Q(y) x y( P(x)Q(y) x( P(x) yQ(y) x P(x) yQ(y) xP(x) yQ(y) ( xP(x) yQ(y)二、求命题公式( P Q) (P Q) 的主析取范式和主合取范式(10分)( P Q) (P Q) ( P Q)(P Q) (PQ)(P Q) ( P Q)(P Q) ( PP Q)( QP Q) (P Q) M1 m0m2m31)(P (Q S)( RP)Q R S(1)R(2) RP(3)P(4

7、)P (Q S)(5)Q S(6)Q(7)S(8)R S2) x(A(x) yB(y), x(B(x) yC(y) xA(x) yC(y)。(1) x(A(x) yB(y) P (2)A(a) yB(y) T(1),ES(3) x(B(x) yC(y) P(4) x(B(x) C() T(3),ES(5)B() C() T(4),US(6)A(a) B() T(2),US(7)A(a) C() T(5)(6),I(8) xA(x) C() T(7),UG(9) xA(x) yC(y) T(8),EG四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入考场,考试才能准时进

8、行。所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)。解 设P:今天天气好,Q:考试准时进行,A(e):e提前进入考场,个体域:考生的集合,则命题可符号化为: P x A(x), xA(x) QQ P。(1) P x A(x) P(2) P xA(x) T(1),E(3) xA(x) P T(2),E (4) xA(x) Q P(5)( xA(x) Q)(Q xA(x) T(4),E(6)Q xA(x) T(5),I(7)Q P T(6)(3),I五、已知A、B、C是三个集合,证明A(BC)=(AB)(AC) (10分)x A(BC) x Ax (BC) x A(x Bx C) ( x Ax B

9、)(x Ax C) x (AB)x AC x (AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)六、A= x1,x2,x3 ,B= y1,y2,R=,x3, y2,求其关系矩阵及关系图(10分)。2,12,52,43,44,45,2,求r(R)、s(R)和t(R),并作出它们及R的关系图(15分)。1,12,2,5,51,24,24,3R2=R5=5,4八、设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A 且B 。关系R满足:x1,y1x2,y2R R1且R2,证明R是AB上的等价关系(10分)。证明 对任意的AB,由R1是A上的等价关系可得R1,由R2是B上的等价关系可得R2。再由R的定义,有R,所以R是自反的。对任意的、B,若R,则y,v由R1对称得R1,由R2对称得R,即且R2,v,t由R1、R1及R1的传递性得R1,由R2、R2及R2的传递性得R1。,所以R是传递的。综上可得,R是AB上的等价关系。九、设f:A B,g:B C,h:C A,证明:如果hgfIA,fhgIB,gfhIC,则f、g、h均为双射,并求出f1、g1和h1(10分)。解 因IA恒等函数,由hgfIA可得f是单射,h是满射;因IB恒等函数,由fhgIB

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