离散数学期末考试题及答案Word文档格式.docx

1、1）CD， （CD） E， E （A B）， （A B） （RS） RS（1） （CD） E P（2） E （A B） P（3） （CD） （A B） T（1）（2），I（4） （A B） （RS） P（5） （CD） （RS） T（3）（4）， I（6） CD P（7） RS T（5），I 2） x（P（x） Q（y）R（x）， xP（x） Q（y） x（P（x）R（x）证明（1） xP（x） P（2）P（a） T（1），ES（3） x（P（x） Q（y）R（x） P（4）P（a） Q（y）R（a） T（3），US（5）Q（y）R（a） T（2）（4），I（6）Q（y） T（5），I（7）R

2、（a） T（5），I（8）P（a）R（a） T（2）（7），I（9） x（P（x）R（x） T（8），EG（10）Q（y） x（P（x）R（x） T（6）（9），I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|AC|=6，|BC|=5，|ABC|=2。先求|AB|。6=|（AC）B|=|（AB）（BC）|=|（AB）|+|（BC）|-|ABC|=|（AB）

3、|+5-2，|（AB）|=3。于是|ABC|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知A、B、C是三个集合，证明A-（BC）=（A-B）（A-C） （10分）。x A-（BC） x Ax （BC） x A（x Bx C） （x Ax B）（x Ax C） x （A-B）x （A-C） x （A-B）（A-C）A-（BC）=（A-B）（A-C）六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R=| x，y Ny=x2，S=| x，y Ny=x+1。求R-1、R*S、S*R、R1，2、S1，2（10分）。R-1=| x，y Ny=x2R*S=| x，y Ny=x2

4、+1S*R=| x，y Ny=（x+1）2，R1，2=，S1，2=1，4。七、设R=b，cc，a，求r（R）、s（R）和t（R） （15分）。r（R）=b，bc，cs（R）=c，ba，cR2= R5=R3=R4=t（R）=，八、证明整数集I上的模m同余关系R=|x y（mod m）是等价关系。其中，x y（mod m）的含义是x-y可以被m整除（15分）。1） xI，因为（x-x）/m=0，所以x x（mod m），即xRx。2） x，yI，若xRy，则x y（mod m），即（x-y）/m=kI，所以（y - x）/m=-kI，所以y x（mod m），即yRx。3） x，y，zI，若xRy

5、，yRz，则（x-y）/m=uI，（y-z）/m=vI，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v I，因此xRz。九、若f:AB和g:BC是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。因为f、g是双射，所以gf：AC是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：CA。同理可推f-1g-1：CA是双射。因为f-1g-1 存在z（g-1 f-1） 存在z（f g） gf （gf）-1，所以（gf）-1=f-1g-1。离散数学试题（B卷答案2）1）（PQ） （ P（ Q R）（ P Q）（ P R） T 左端 （PQ）（P（QR） （PQ）（PR）（摩根律） （PQ）（PQ）（PR） （PQ）（

6、PR）（分配律） （PQ）（PR） （PQ）（PR） （等幂律） T （代入）2） x y（P（x） Q（y） （ xP（x） yQ（y） x y（P（x） Q（y） x y（ P（x）Q（y） x（ P（x） yQ（y） x P（x） yQ（y） xP（x） yQ（y） （ xP（x） yQ（y）二、求命题公式（ P Q） （P Q） 的主析取范式和主合取范式（10分）（ P Q） （P Q） （ P Q）（P Q） （PQ）（P Q） （ P Q）（P Q） （ PP Q）（ QP Q） （P Q） M1 m0m2m31）（P （Q S）（ RP）Q R S（1）R（2） RP（3）P（4

7、）P （Q S）（5）Q S（6）Q（7）S（8）R S2） x（A（x） yB（y）， x（B（x） yC（y） xA（x） yC（y）。（1） x（A（x） yB（y） P （2）A（a） yB（y） T（1），ES（3） x（B（x） yC（y） P（4） x（B（x） C（） T（3），ES（5）B（） C（） T（4），US（6）A（a） B（） T（2），US（7）A（a） C（） T（5）（6），I（8） xA（x） C（） T（7），UG（9） xA（x） yC（y） T（8），EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进

8、行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。解 设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A（e）：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为： P x A（x）， xA（x） QQ P。（1） P x A（x） P（2） P xA（x） T（1），E（3） xA（x） P T（2），E （4） xA（x） Q P（5）（ xA（x） Q）（Q xA（x） T（4），E（6）Q xA（x） T（5），I（7）Q P T（6）（3），I五、已知A、B、C是三个集合，证明A（BC）=（AB）（AC） （10分）x A（BC） x Ax （BC） x A（x Bx C） （ x Ax B

9、）（x Ax C） x （AB）x AC x （AB）（AC）A（BC）=（AB）（AC）六、A= x1,x2,x3 ，B= y1,y2，R=,x3, y2，求其关系矩阵及关系图（10分）。2,12,52,43,44,45,2，求r（R）、s（R）和t（R），并作出它们及R的关系图（15分）。1,12,2,5,51,24,24,3R2=R5=5,4八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A 且B 。关系R满足：x1，y1x2，y2R R1且R2，证明R是AB上的等价关系（10分）。证明 对任意的AB，由R1是A上的等价关系可得R1，由R2是B上的等价关系可得R2。再由R的定义，有R，所以R是自反的。对任意的、B，若R，则y，v由R1对称得R1，由R2对称得R，即且R2，v，t由R1、R1及R1的传递性得R1，由R2、R2及R2的传递性得R1。，所以R是传递的。综上可得，R是AB上的等价关系。九、设f：A B，g：B C，h：C A，证明：如果hgfIA，fhgIB，gfhIC，则f、g、h均为双射，并求出f1、g1和h1（10分）。解 因IA恒等函数，由hgfIA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhgIB