高考数学 黄金100题系列 第18题 几类特殊函数对勾函数绝对值函数等理Word下载.docx

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（II）绝对值函数

一、绝对值函数的定义：

形如的函数，叫做绝对值函数．

含绝对值的函数本质上是分段函数,往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究,由于去绝对值函数大多要涉及到分类讨论,对能力要求较高,故备受高考命题者青睐,高考常考的主要有以下3类：

1．形如的函数,研究此类函数往往结合图像,可以看成由的图像在轴上方部分不变,下方部分关于轴对称得到；

2．形如的函数,此类函数是偶函数,因此可以先研究的情况,的情况可以根据对称性得到；

3．函数解析式中部分含有绝对值,如,等,这种函数是普通的分段函数,一般先去绝对值,再结合图像进行研究．

2、绝对值函数的图象与性质

1.定义域：

R；

2.值域：

；

3.单调性：

函数在上为减函数，在上为增函数．

特别时，，图象如下图所示

（III）取整函数

取整函数的定义

若x为实数，表示不超过的最大整数，则函数叫做取整函数．举例如下：

等．

IV．题型攻略·

深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，可以是选择题或填空题，也可以是解答题，难度较大，往往与函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性有联系，主要考查函数的性质的应用等．

【技能方法】

解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的相关性质．最好先画出函数的图象，利用数形结合思想，解决相应问题．

【易错指导】

注意定义域先行原则，必须先求出函数的定义域，在定义域内解决相应问题．

V．举一反三·

触类旁通

考向1对勾函数

【例1】【2018河北唐山模拟】已知，，则（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】∵，∴，令，则为奇函数，则，所以，有，故选A．

考点：

函数值、函数的奇偶性．

【例2】【2018云南省师大附中模拟】若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（）

【答案】C

导数的运算、利用导数判断函数的单调性．

【例3】【2017山西四校联考】若函数的导函数在区间（1，2）上有零点，则在下列区间上单调递增的是

A．B．C．D．

【解析】，，显然，函数的导函数在区间（1，2）上有零点，，为增函数，只需，故选D．

【名师点睛】1．要结合图象，理解对勾函数的各种性质，单调性，对称性，奇偶性等．

2．通过对勾函数的研究，要明确均值不等式的使用条件．

3．对渐近线的认识，应进一步加深，我们可以理解为，函数图象无限靠近直线，且总在直线的一侧．

【例4】【2018吉林百校联盟高三九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（）

A．若，则函数无零点B．若，则函数有零点

C．若，则函数有一个零点D．若，则函数有两个零点

【解析】作出函数的图象如图所示：

观察可知：

当时，函数有一个零点，故A错误．故选A．

【跟踪练习】

1．若函数，则下列结论正确的是（）

2．关于函数有下列命题：

（1）其图象关于y轴对称；

（2）函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；

（3）函数f（x）的最小值为；

（4）函数f（x）在上单调递增；

（5）函数f（x）无最大值，也无最小值

其中所有正确结论的序号是（）

【解析】注意函数的定义域为．

如图：

所以在上，g（x）在上递减，在上递增．所以由复合函数单调性可知，f（x）在上递减，在上递增．由函数对称性，f（x）在上递增，在上递减，所以

（2）不正确，（4）正确．又因为，函数g（x）的最小值为2，所以f（x）的最小值为lg2，所以（3）正确，（5）不正确．

3．函数的最大值为______

【答案】5

4．求函数在下列条件下的值域：

（1）；

（2）

【解析】

（1）当x>

0时，由均值不等式，有

当时，即时，取到等号；

当x<

0时，有

所以函数的值域为：

5．已知函数其中常数a>

0．

（1）证明:

函数f（x）在上是减函数,在上是增函数；

（2）利用

（1）的结论,求函数（x∈[4,6]）的值域；

（3）借助

（1）的结论,试指出函数的单调区间,不必证明．

（3），所以值域为：

．

考向2绝对值函数

【例5】【2017云南昆明下学期第二次统测】已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）

【例6】已知函数,若方程有四个不同的解,,,,且,则的取值范围是（）

【答案】B

【例7】【2018上海交通大学附中高三上学期开学摸底考试】已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是__________．

【答案】

【例8】【2015高考湖北卷】为实数,函数在区间上的最大值记为．

当时,的值最小．

【解析】．①当时,函数的图像如图所示．函数在区间上单调递增,．

②当时,,在区间上的最大值为．

③当时,函数的图像如图所示．

【例9】函数,关于的方程恰有三个不同实数解,则实数的取值范围为．

【例10】【2018广东广州模拟】已知函数

（1）证明：

函数是偶函数；

（2）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像（草图），并写出函数的值域；

（3）在同一坐标系中画出直线，观察图像写出不等式的解集．

（1）见解析；

（2）见解析；

（3）．

【解析】试题分析:

判断函数的奇偶性，首先要考查函数的定义域，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，当函数的定义域关于原点对称式，根据f（-x）与f（x）的关系，判断函数f（x）为奇偶性；

再利用零点分区间讨论法分段去掉绝对值符号，化为分段函数，画出函数图象；

根据图象解不等式，这是一种数形结合思想．

试题解析：

（1）依题可得：

的定义域为

是偶函数

（2）

由函数图象知，函数的值域为

（3）由函数图象知，不等式的解集为

1．【2018浙江台州模拟】函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别，则的最大值为（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】D

由，得，

，当且仅当，

即时取到等号，故答案为D．

1、函数图象的应用；

2、基本不等式的应用．

2．【2018北京西城区模拟】设函数

（1）如果，那么实数___；

（2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___．

【答案】或4；

【解析】由题意，解得或；

第二问如图：

1．分段函数值；

2．函数的零点．

3．设函数为常数）

（1）a=2时，讨论函数的单调性；

（2）若a>

-2，函数的最小值为2，求a的值．

（2），，结合图像可得

当时函数的最小值为=2，解得a=3符合题意；

当时函数的最小值为，无解；

综上，a=3．

考向3取整函数与程序框图

【例11】【2018山西四校联考】执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为

A．5B．7C．9D．12

考向4取整函数与函数的周期性

【例12】【2018陕西西北工业大学附中模拟】x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（）

A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数

【解析】因为f（x）=x-[x]，所以f（x+1）=（x+1），-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f（x），

∴f（x）=x-[x]在R上为周期是1的函数．所以选D．

函数的周期性．

【例13】【2017重庆一中高三上学期一诊模拟考试】高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：

，则__________．

归纳推理、数列的递推公式及新定义问题．

1．【2018重庆铜梁一中高三上学期第一次月考】阅读下列一段材料，然后解答问题：

对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，在数轴上，当是整数，就是，当不是整数时，是点左侧的第一个整数点，这个函数叫做“取整函数”，也叫高斯（Gauss）函数．如．

求的值为（）

A．0B．-2C．-1D．1

【解析】=−2,−2<

<

−1,=−1,=0,=1,1<

2,=2，

由“取整函数”的定义可得，

=−2−2−1+0+1+1+2=−1．

故选：

C．

点睛：

正确理解高斯（Gauss）函数的概念是解题的关键，表示“不超过的最大整数”，

首先小于等于此实数，并且其为最大的整数，条件想全面．

2．【2018江苏南京模拟】函数称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数是不超过的最大整数，则函数的值域为．

3．【2018福建三明模拟】对于任意，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数．若数列满足，且数列的前项和为，则等于．

【解析】由定义知，．

考向5取整函数与函数的零点

【例14】【2018天津南开中学第三次月考】已知符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是．

【解析】由f（x）=0得，令g（x）=（x>

0），作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．由f（x）=0得；

令g（x）=，（x>

0），则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，

当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时；

当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时；

当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时；

当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时；

作出g（x）的函数的图象，要使函数有且仅有3个零点，即函数g（x）的图象与直线y=a有且只有三个零点，由图象可知：

．故答案为：

函数的零点与方程根的关系．

【例15】【2018杭州重点中学联考】已知，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是

若x＞0，此时[x]≥0；

若[x]=0，则，若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故，且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；

若﹣1≤x＜0，则，若x＜-1，因为[x]≤x＜-1；

[x]≤x＜[x]+1，故,

且随着[x]的增大而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；

或[x]=-1，-2，-3．若[x]=1，有若[x]=2，有若[x]=3，有若[x]=4，有若[x]=-1，有a＞1；

若[x]=-2，有1≤a＜2；

若[x]=-3，有若[x]=-4，有，综上所述，或．故选：

B．

函数零点的判定定理．

1．【201