求轨迹方程的常用方法Word文档格式.doc
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的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：
若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：
交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：
1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：
研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。
在此不一一缀述。
课前热身：
1.P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为：
（）
A、B、C、D、=1
【答案】：
B
【解答】:
令中点坐标为,则点P的坐标为（代入椭圆方程得,选B
2.圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（）
A B
C D
D
令圆心坐标为（,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选D
3:
一动圆与圆O：
外切，而与圆C：
内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：
A：
抛物线B：
圆C：
椭圆D：
双曲线一支
【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。
故选D。
4:
点P（x0，y0）在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是（）
A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线
A
令M的坐标为则代入圆的方程中得,选A
【互动平台】
名师点题一：
用定义法求曲线轨迹
求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：
已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。
【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1）圆：
到定点的距离等于定长
（2）椭圆：
到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）
（3）双曲线：
到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）
（4）到定点与定直线距离相等。
【变式1】:
1:
已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。
解：
设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：
，。
。
∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。
故所求轨迹方程为
2:
一动圆与圆O：
二：
用直译法求曲线轨迹方程
此类问题重在寻找数量关系。
例2：
一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？
解设M点的坐标为由平几的中线定理：
在直角三角形AOB中，OM=
M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.
【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。
一般直译法有下列几种情况：
1）代入题设中的已知等量关系：
若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：
有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：
有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：
有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.
【变式2】:
动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即），求动点P的轨迹方程？
【解答】∵|PA|=
代入得
化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.
三：
用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。
【解析】
分析1：
从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。
解法1：
设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）
∵M为AB的中点，
消去k，得x＋2y－5＝0。
另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
分析2：
解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？
只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：
解法2：
设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。
分析3：
：
设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：
k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。
事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：
设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。
又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2
∴PA⊥PB，从而kPA·
kPB＝－1，
注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）
中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。
【点评】
1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。
解法2，3为直译法，运用了kPA·
kPB＝－1，这些等量关系。
用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。
也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响
【变式3】过圆O：
x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。
解法一：
“几何法”
设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,
所以|OM|２＋|ＭＡ|２ ＝|ＯＡ|２ ，
即（x2+y2）+（x－４）2+y2=16
化简得：
（x－2）2+y2=4................................①
由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为
（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。
所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
2为半径的圆在圆O内的部分。
解法二：
“参数法”
设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k（x－4）,
由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........（*）,
由点M为BC的中点，所以x=...............
（1）,又OM⊥BC，所以k=.................
（2）由方程
（1）
（2）
消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2
≤,所以x＜1.
所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，
四：
用代入法等其它方法求轨迹方程
例4.
轨迹方程。
分析：
题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。
【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）
则由M为线段AB中点，可得
即点B坐标可表为（2x－2a，2y）
【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式4】如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°
，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
【解析】：
设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）
又|
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