梅涅劳斯定理Word文档格式.doc

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三点所在直线称为三角形的梅氏线。

【背景简介】

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

【证法欣赏】

证法1：

（平行线分线段成比例）

证：

如图，过作交延长线于，

∵，∴，，

又

则

∴

证法2：

（正弦定理）

如图，令，，，

在中，由正弦定理知：

，

同理，

∴，，，

∴，即.

【逆定理】

梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即

如果有三点、、分别在的三边、、或其延长线上，且满足，那么、、三点共线。

[注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线

【定理应用】

梅涅劳斯定理的应用定理1：

若的的外角平分线交边延长线于，的平分线交边于，的平分线交边于，则、、三点共线。

由三角形内、外角平分线定理知，

，，，

则，

故、、三点共线。

梅涅劳斯定理的应用定理2：

过任意的三个顶点、、作它的外接圆的切线，分别和、、的延长线交于点、、，则、、三点共线。

∵是⊙的切线，

∴∽，

∴，

则，

同理：

【例1】已知：

过顶点的直线，与边及中线分别交于点和.

求证：

.

证明：

直线截，

由梅涅劳斯定理，

得：

又，

[注]此例证法甚多，如“平行线”、“面积法”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》．

【例2】已知：

过重心的直线分别交边、及延长线于点、、.求证：

连接并延长交于，

∵截，

∴由梅氏定理得，；

∴，，

即

中学数学中的著名定理~3~