高考数学考点38直接证明与间接证明必刷题理练习Word下载.docx
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详解：
反证法的假设需要写出命题的反面.
“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.
本题选择D选项.
4．用反证法证明命题“若
都是正数，则
三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是（）
A．
不全是正数B．
至少有一个小于2
C．
都是负数D．
都小于2
5．用反证法证明命题：
“三角形的内角中至少有一个不大于
”时，假设正确的是（）
A．假设三内角都不大于
B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于
D．假设三内角至多有两个大于
【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：
“一个也没有”；
即“三内角都大于60度”.
故选B.
6．①已知
是实数，若
，则
且
，用反证法证明时，可假设
；
②设
为实数，
，求证
与
中至少有一个不小于
，且
.则
A．①的假设正确，②的假设错误B．①的假设错误，②的假设正确
C．①与②的假设都错误D．①与②的假设都正确
7．用反证法证明“三角形中至少有两个锐角”，下列假设正确的是（）
A．三角形中至多有两个锐角B．三角形中至多只有一个锐角
C．三角形中三个角都是锐角D．三角形中没有一个角是锐角
【解析】用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”.
故选：
B.
8．用反证法证明命题“已知
为整数，若
不是偶数，则
都不是偶数”时，下列假设中正确的是（）
都是偶数B．假设
中至多有一个偶数
都不是奇数D．假设
中至少有一个偶数
【解析】由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一个”，所以应该假设
中至少有一个偶数，故选D.
9．已知实数
满足
，用反证法证明：
中至少有一个小于0．下列假设正确的是（）
至多有一个小于0
中至多有两个大于0
都大于0
都是非负数
【解析】由于命题“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明时假设应为“a，b，c，d都是非负数”．
故选D．
10．对于命题：
，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（）．
都不为0B．假设
至少有一个不为0
都为0D．假设
中至多有一个为0
【答案】A
11．用反证法证明“已知
，求证：
.”时，应假设（）
B．
C．
D．
或
【解析】根据反证法证明数学命题的方法，
应先假设要证命题的否定成立，
而
的否定为“
不都为零”，故选D.
12．用反证法证明命题“已知
为非零实数，且
中至少有两个为正数”时，要做的假设是（）
中至少有两个为负数B．
中至多有一个为负数
中至多有两个为正数D．
中至多有两个为负数
【解析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：
“
中至少有二个为正数”的否定为：
中至少有二个为负数”．
故选A．
13．设函数
.
（Ⅰ）讨论函数
的单调性；
（Ⅱ）当
时，函数
恰有两个零点
，证明：
【答案】
（1）当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
上单调递增，在
上单调递减.
（2）证明见解析.
14．若无穷数列
满足：
是正实数，当
，则称
是“
-数列”.已知数列
-数列”.
（Ⅰ）若
，写出
的所有可能值；
（Ⅱ）证明：
是等差数列当且仅当
单调递减；
（Ⅲ）若存在正整数
，对任意正整数
，都有
是数列
的最大项.
（1）-2，0，2，8.
（2）见解析（3）见解析
15．已知集合
是集合
的一个含有
个元素的子集.
（Ⅰ）当
时,
设
（i）写出方程
的解
（ii）若方程
至少有三组不同的解,写出
的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:
对任意一个
存在正整数
使得方程
至少有三组不同的解.
（Ⅰ）（
）
（
（Ⅱ）证明见解析.
假设不存在满足条件的
则这
个数中至多两个
、两个
从而
又
这与
矛盾,所以结论成立.
16．
（1）（用综合法证明）
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，证明：
△ABC为等边三角形。
（2）（用分析法证明）
设a，b，c为一个三角形的三边，s＝
（a＋b＋c），且s2＝2ab，试证：
s<
2a.
（1）见解析;
（2）见解析.
（2）要证s<
2a，由于s2＝2ab，所以只需证s<
，即证b<
s.
因为s＝
（a＋b＋c），所以只需证2b<
a＋b＋c，即证b<
a＋c.
由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
【点睛】
所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．
所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法．
应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：
“若要证明A，则先证明B；
若要证明B，则先证明C，……”或“若要A成立，必先B成立；
若要B成立，必先C成立，……”。
17．已知△ABC的三边长为a，b，c，三边互不相等且满足b2＜ac
（1）比较
的大小，并证明你的结论；
（2）求证：
B不可能是钝角．
学们的解题能力大有裨益．
一、反证法的基本内容
1．步骤：
①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；
③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．
其中推出矛盾主要有下列情形：
①与已知条件矛盾；
②与公理、定理、定义及性质矛盾；
③与假设矛盾；
④推出自相矛盾的结论．
2．宜用反证法证明的题型：
①易导出与已知矛盾的命题；
②否定性命题；
③惟一性命题；
④至少至多型命题；
⑤一些基本定理；
⑥必然性命题等．
18．在各项均为正数的数列
中，
.
时，求
的值；
（Ⅱ）求证：
（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析.
只需证
，只需证
只需证
，
，
根据均值定理，
所以原命题成立.
19．
（1）证明：
（2）已知
中至少有一个小于2．
（1）证明见解析；
20．（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）已知
和
中至少有一个小于2.
21．若
均为实数，且
中至少有一个大于
【答案】证明见解析.
【解析】证明：
都不大于
，即
与
矛盾.
假设错误，原命题正确，即
22．设实数
成等差数列
，实数
成等比数列，非零实数
是
的等差中项.
求证：
【答案】见解析
点睛：
若要B成立，
必先C成立，……”。
23．
（1）在
中，内角
的对边分别为
证明：
；
（2）已知结论：
在直角三角形中，若两直角边长分别为
，斜边长为
，则斜边上的高
.若把
该结论推广到空间：
在侧棱互相垂直的四面体
中，若三个侧面的面积分别为
，底面面积为
，则该四面体的高
之间的关系是什么？
（用
表示
（1）证明见解析.
（2）
面
显然成立，故
（2）解：
记该四面体
的三条侧棱长分别为
不妨设
由
得
于是
即
24．求证：
（1）
．
（1）见解析.
只要证
显然成立，
故
25．比较大小：
___
（用
连接）
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