学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式22基本不等式教学案新人教A版必修第一册Word格式文档下载.docx
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小值
2
.（简记：
积定和有最小值）
四 基本不等式的实际应用
基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：
（1）先理解题意，设出变量，设变量时一般把
要求最大值或最小值的变量定为因变量．
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为
函数的最大值或最小值问题．
（3）在定义域内，求出
函数的最大值或最小值．
（4）根据实际意义写出正确的答案．
【新知拓展】
1．由基本不等式变形得到的常见结论
（1）ab≤
2≤
（a，b∈R）；
（2）
≤
（a，b均为正实数）；
（3）
＋
≥2（a，b同号）；
（4）（a＋b）
≥4（a，b同号）；
（5）a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．
2．利用基本不等式证明不等式时应注意的问题
（1）注意基本不等式成立的条件；
（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；
（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
3．利用基本不等式的解题技巧与易错点
（1）利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：
①加项变换；
②拆项变换；
③统一换元；
④平方后再用基本不等式．
（2）易错点
①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；
②忽略忘记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；
③忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；
④忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同．
1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）
≥
对于任意实数a，b都成立．（ ）
（2）若a>
0，且a≠b，则a＋b>
.（ ）
（3）若a>
0，则ab≤
2.（ ）
（4）若a>
0，且a＋b＝16，则ab≤64.（ ）
（5）若ab＝2，则a＋b的最小值为2
答案
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√ （5）×
2．做一做（请把正确的答案写在横线上）
（1）不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．
≥2成立的条件是________．
（3）x＞1，则x＋
的最小值为________．
（4）已知p，q∈R，pq＝100，则p2＋q2的最小值是________．
（5）若a>
0，且a＋b＝2，则
答案
（1）m＝1
（2）a与b同号 （3）3 （4）200 （5）2
题型一对基本不等式的理解
例1 给出下面三个推导过程：
①因为a>
0，所以
≥2
＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以
＋a≥2
＝4；
③因为x，y∈R，xy<
＝－
≤－2
＝－2.
其中正确的推导过程为（ ）
A．①②B．②③
C．②D．①③
[解析] 从基本不等式成立的条件考虑．
>
0，
0，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以
＋a≥2
＝4是错误的；
③由xy<
0得
，
均为负数，但在推导过程中将
看成一个整体提出负号后，
均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．
[答案] D
金版点睛
基本不等式
（a>
0）的两个关注点
（1）不等式成立的条件：
a，b都是正实数．
（2）“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，
的等号成立，
即a＝b⇒
＝
②仅当a＝b时，
即
⇒a＝b.
下列命题中正确的是（ ）
A．当a，b∈R时，
＝2
B．当a＞0，b＞0时，（a＋b）
≥4
C．当a＞4时，a＋
＝6
D．当a＞0，b＞0时，
答案 B
解析 A项中，可能
＜0，所以不正确；
B项中，因为a＋b≥2
＞0，
≥2
＞0，相乘得（a＋b）
≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；
C项中，a＋
＝6中的等号不成立，所以不正确；
D项中，由基本不等式，知
（a＞0，b＞0），所以D不正确．
题型二利用基本不等式比较大小
例2 已知a＞1，则
三个数的大小顺序是（ ）
A.
＜
B.
C.
D.
[解析] 当a，b均为正数时，有
令b＝1，得
.
又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，应选C.
[答案] C
[题型探究] 对一切正数m，不等式n＜
＋2m恒成立，求常数n的取值范围．
解 当m>
0时，由基本不等式，得
＋2m≥2
＝4
，且当m＝
时，等号成立，故n的取值范围为n＜4
利用基本不等式比较大小
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．
已知：
a>
0，且a＋b＝1，试比较
，4的大小．
解 ∵a＞0，b＞0，a＋b≥2
∴ab≤
∴
≥4，
－ab≥
－
≤4.
≥4≥
题型三利用基本不等式求函数的最值
例3
（1）求函数y＝
＋x（x>
3）的最小值；
（2）已知0<
x<
，求y＝x（1－3x）的最大值；
（3）已知x＞－1，求y＝
的最小值．
[解]
（1）∵y＝
＋x＝
＋（x－3）＋3，
又x>
3，∴x－3>
∴y≥2
＋3＝5.
当且仅当
＝x－3，即x＝4时，y有最小值5.
（2）∵0<
，∴1－3x>
y＝x（1－3x）＝
·
3x·
（1－3x）
2＝
当且仅当3x＝1－3x，即x＝
时，取等号，
∴当x＝
时，函数取得最大值
（3）∵x>
－1，∴x＋1＞0，
y＝
＝x＋1＋
＋1
＋1，
当且仅当x＋1＝
时，
即x＝
－1时，函数y的最小值为2
＋1.
[变式探究] 在本例
（1）中把“x>
3”改为“x<
3”，则函数y＝
＋x的最值又如何？
解 ∵x<
3，∴x－3<
∴y＝
＋x＝－
－（3－x）＋3
＋3≤－2
＋3
＝－2＋3＝1.
＝3－x，即x＝2时，取等号．
故函数y＝
＋x（x<
3）有最大值1，没有最小值．
利用基本不等式求函数的最值
（1）利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
（2）等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．
（1）已知x<
，则函数y＝4x－2＋
的最大值为________；
（2）若x>
1，则函数y＝
答案
（1）1
（2）4
解析
（1）∵x<
，∴5－4x>
0.
∴y＝4x－2＋
≤－2
＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝
即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1.
（2）∵x＞1，∴x－1＞0.
＝x－1＋
＋2≥2＋2＝4，
＝x－1，即x＝2时，等号成立，
故当x＝2时，ymin＝4.
题型四利用基本不等式证明不等式
例4 已知a，b，c是不全相等的三个正数，
求证：
＞3.
[证明]
－3＝
－3.
∵a，b，c都是正数，
＝2，
同理
≥2，
≥6.
∵a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，
＞6，
利用基本不等式证明不等式
（1）利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2＋b2≥2ab（a，b∈R），可变形为ab≤
0）可变形为ab≤
2等．同时要从整体上把握基本不等式，如a4＋b4≥2a2b2，a2b2＋b2c2≥2（ab）（bc），都是对“a2＋b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用．
（2）在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．
已知a>
0，c>
0，且a＋b＋c＝1.
≥10.
证明
＝4＋
≥4＋2＋2＋2＝10，
当且仅当a＝b＝c＝
时取等号．
题型五利用基本不等式求代数式的最值
例5
（1）已知x>
0，y>
0且
＝1，求x＋y的最小值；
（2）已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；
（3）已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．
[解]
（1）∵x>
＝1，
∴x＋y＝
（x＋y）＝
＋10≥6＋10＝16，当且仅当
，又
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16.
（2）∵2x＋y＋6＝xy，
，x＞1，xy＝
≥2×
＝18.
当且仅当x＝3时，等号成立．
（3）因为1＝x2＋y2＋xy＝（x＋y）2－xy≥（x＋y）2－
2，所以（x＋y）2≤
即x＋y≤
，当且仅当x＝y＞0且x2＋y2＋xy＝1，
即x＝y＝
时，等号成立，x
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