中考数学圆精讲(含答案)Word文档下载推荐.doc

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反过来，当d＞r时，点在圆外。

当点在圆上时，d＝r；

反过来，当d＝r时，点在圆上。

当点在圆内时，d＜r；

反过来，当d＜r时，点在圆内。

例如图，在中，直角边，，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的_________，点在圆A的_________．

利用点与圆的位置关系，答案：

外部，内部

练习：

在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．

答案：

点在圆O上．

知识点三、圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

[来源:

学科网ZXXK]

圆周角定理推论１：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：

直径所对的圆周角是直角；

９０°

的圆周角所对的弦是直径。

例1如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离为d，根据垂径定理，有R2=d2+（）2，所以三个量知道两个，就可求出第三个．答案C

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°

，则∠BOC的大小是（）

A、60°

B、45°

C、30°

D、15°

运用圆周角与圆心角的关系定理，答案：

A

例3、如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？

若成立，加以证明；

若不成立，请说明理由．

（1）

（2）

解题思路：

（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等．

上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．

解：

（1）AB=CD

理由：

过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F

∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF

连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE

根据垂径定理可得：

AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°

∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF

∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD

例4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？

为什么？

BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．

BD=CD

理由是：

如图24－30，连接AD

∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°

即AD⊥BC

又∵AC=AB∴BD=CD

知识点四、圆与三角形的关系

1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：

经过三角形三个顶点的圆。

3、三角形的外心：

三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。

4、三角形的内切圆：

与三角形的三边都相切的圆。

5、三角形的内心：

三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

例1如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24－49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

连结AB、BC，作线段AB、BC的中垂线，两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的位置．

例2如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°

，

则∠BOC=（）

A．130°

B．100°

C．50°

D．65°

此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，答案A

例3如图，Rt△ABC，∠C=90°

，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（）．

A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm

直角三角形外心的位置是斜边的中点，答案B

知识点五、直线和圆的位置关系：

相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；

反过来，当d＜r时，直线和圆相交。

Zxxk.Com]

当直线和圆相切时，d＝r；

反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；

反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：

经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

例1、在中，BC=6cm，∠B=30°

，∠C=45°

，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？

相交？

相离？

作AD⊥BC于D

在中，∠B=30°

∴

在中，∠C=45°

∴CD=AD 

∵BC=6cm 

∴

∴当时，⊙A与BC相切；

当时，⊙A与BC相交；

当时，⊙A与BC相离。

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？

如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°

，BD=10，求⊙O的半径．

解题思路：

（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．

由已知易得：

∠A=30°

，又由∠DCB=∠A=30°

得：

BC=BD=10

（1）CD与⊙O相切

①C点在⊙O上（已知）

②∵AB是直径

∴∠ACB=90°

，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A

∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°

综上：

CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30°

∴∠COD=60°

∴∠A=30°

∴∠BCD=30°

∴BC=BD=10

∴AB=20，∴r=10

答：

（1）CD是⊙O的切线，

（2）⊙O的半径是10．

知识点六、圆与圆的位置关系

重点：

两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．

难点：

探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．

外离：

两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：

内含：

两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

　相切：

外切：

两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的外部

内切：

两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部

相交：

两圆只有两个公共点。

设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．

外离d>

r1+r2

外切d=r1+r2

相交│r1－r2│<

d<

内切d=│r1－r2│

内含0≤d<

│r1－r2│（其中d=0，两圆同心）

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1）

（2）

要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．

∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°

又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°

，∠NPO′=90°

∴∠TPN=360°

－2×

90°

－60°

=120°

例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，

求：

（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

（1）

（2）

（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；

（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA－rO．

解：

如图2所示，

（1）作法：

以A为圆心，rA=15－7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm

（2）作法：

以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

例3．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．

（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；

_

y

x

O

（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

（1）AB=5>

1+3，外离．

（2）设B（x，0）x≠－2，则AB=，⊙B半径为│x+2│，

①设⊙B与⊙A外切，则=│x+2│+1，

当x>

－2时，=x+3，平方化简得：

x=0符题意，∴B（0，0），

当x<

－2时，=－x－1，化简得x=4>

－2（舍），

②设⊙B与⊙A内切，则=│x+2│－1，

－2时，=x+1，得x=4>

－2，∴B（4，0），

－2时，=－x－3，得x=0，

知识点七、正多边形和圆

讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

使学生理解四者：