中考专题复习矩形菱形正方形Word格式.docx

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3、菱形的判定：

⑵对角线互相垂直的是菱形

⑶四条边都相等的是菱形

1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】

三、正方形：

有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形

2、性质：

⑴正方形四个角都都是角，

⑵正方形四边条都

⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角

3、判定：

⑴先证是矩形，再证

⑵先证是菱形，再证

1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：

2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】

【重点考点例析】

考点一：

与矩形有关的折叠问题

例1（2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（　　）

A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm

对应训练

1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：

AC=3：

5，则的值为（　　）

A． B． C． D．

考点二：

和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题

例2（2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：

BD=1：

2，则AO：

BO=1：

2

，菱形ABCD的面积S=16

．

2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°

，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

A．14 B．15 C．1D．17

考点三：

和正方形有关的证明题

例3（2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．

（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

说明你的理由；

（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．

思路分析：

（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°

，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）与

（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．

解：

（1）AD=CF．

理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°

，

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，

即∠AOD=∠COF，

在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），

∴AD=CF；

（2）与

（1）同理求出CF=AD，

如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，

∵正方形ODEF的边长为，

∴OE=×

=2，

∴DG=OG=OE=×

2=1，

∴AG=AO+OG=3+1=4，

在Rt△ADG中，AD=，

∴CF=AD=．

点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，

（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，

（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：

△BCP≌△DCP；

（2）求证：

∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°

，则∠DPE=58

度．

3．

（1）证明：

在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°

∵在△BCP和△DCP中，

，∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：

由

（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∴∠DPE=∠DCE，

∵∠1=∠2（对顶角相等），

∴180°

-∠1-∠CDP=180°

-∠2-∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：

与

（2）同理可得：

∠DPE=∠ABC，

∵∠ABC=58°

∴∠DPE=58°

故答案为：

58．

考点四：

四边形综合性题目

例4（2016•资阳）在一个边长为a（单位：

cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：

DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；

①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．

②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？

若能，请写出a，t之间的关系；

若不能，请说明理由．

（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；

（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=a，进而得到CM=a=CD，所以该命题为真命题；

②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．

（1）证明：

∵∠DNC+∠ADF=90°

，∠DNC+∠DCN=90°

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF与△DNC中，

，∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN．

（2）解：

①该命题是真命题．

当点F是边AB中点时，则AF=AB=CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴==，

∴AE=EC，则AE=AC=a，

∴t==a．

则CM=1•t=a=CD，

∴点M为边CD的三等分点．

②能．理由如下：

易证AFE∽△CDE，∴=，即，得AF=．

易证△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=DM，即=t，得t=0，不合题意．

∴此种情形不存在；

（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此时点F与点B重合；

（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．

∴=a-t，

∴t=a，此时点F与点C重合．

综上所述，当t=a或t=a时，△MNF能够成为等腰三角形．

本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：

（1）明确动点的运动过程；

（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；

（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．

4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°

，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．

（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°

，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．

4．解：

（1）①BF=AD，BF⊥AD；

②BF=AD，BF⊥AD仍然成立，

证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°

∴AC=BC，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CD=CF，∠FCD=90°

∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，

即∠BCF=∠ACD，

在△BCF和△ACD中

∴△BCF≌△ACD（SAS），

∴BF=AD，∠CBF=∠CAD，

又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°

∴∠CAD+∠AHO=90°

∴∠AOH=90°

∴BF⊥AD；

连接DF，

∵四边形CDEF是矩形，

∴∠FCD=90°

又∵∠ACB=90°

∴∠ACB=∠FCD

∵AC=4，BC=3，CD=，CF=1，

∴，

∴△BCF∽△ACD，

∴∠CBF=∠CAD，

∴BF⊥AD，

∴∠BOD=∠AOB=90°

∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，

∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AC=4，BC=3，

∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，

∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°

，CD=，CF=1，

∴DF2=CD2+CF2=（）2+12=，

∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+=．

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