第二章 函数与基本初等函数I第2讲 函数的单调性与最值 讲义辅导培训班家教一轮复习专用Word文档格式.docx
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函数单调性的常用结论
(1)对∀x1,x2∈D(x1≠x2),
>
0⇔f(x)在D上是增函数,
<
0⇔f(x)在D上是减函数.
(2)对勾函数y=x+
(a>
0)的增区间为(-∞,-
]和[
,+∞),减区间为[-
,0)和(0,
].
(3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<
f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( ×
)
(2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( ×
(3)函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( ×
(4)所有的单调函数都有最值.( ×
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( ×
(6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( √ )
1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
A.y=e-xB.y=x3
C.y=lnxD.y=|x|
答案 B
解析 由所给选项知只有y=x3的定义域是R且为增函数,故选B.
2.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )
A.2B.-2C.2或-2D.0
答案 C
解析 当a>
0时,由题意得2a+1-(a+1)=2,即a=2;
当a<
0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2,所以a=±
2,故选C.
3.(2016·
广州模拟)函数y=x2+2x-3(x>
0)的单调增区间为________.
答案 (0,+∞)
解析 函数的对称轴为x=-1,又x>
0,
所以函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).
4.(教材改编)已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围为________________________________________________________________________.
答案 (-∞,1]
解析 函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上,对称轴为直线x=a,画出草图如图所示.
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是[a,+∞),
由[1,2]⊆[a,+∞),可得a≤1.
5.(教材改编)已知函数f(x)=
,x∈[2,6],则f(x)的最大值为________,最小值为________.
答案 2
解析 可判断函数f(x)=
在[2,6]上为减函数,所以f(x)max=f
(2)=2,f(x)min=f(6)=
.
题型一 确定函数的单调性(区间)
命题点1 给出具体解析式的函数的单调性
例1
(1)函数f(x)=log
(x2-4)的单调递增区间是( )
A.(0,+∞)B.(-∞,0)
C.(2,+∞)D.(-∞,-2)
(2)y=-x2+2|x|+3的单调递增区间为________.
答案
(1)D
(2)(-∞,-1],[0,1]
解析
(1)因为y=log
t,t>
0在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).
(2)由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;
当x<
0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
二次函数的图象如图.
由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3在(-∞,-1],[0,1]上是增函数.
命题点2 解析式含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)=
0),用定义法判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性.
解 设-1<
x1<
x2<
1,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
∵-1<
∴x2-x1>
0,x1x2+1>
0,(x
-1)(x
-1)>
0.
又∵a>
0,∴f(x1)-f(x2)>
∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
引申探究
如何用导数法求解例2?
解 f′(x)=
,
∵a>
0,∴f′(x)<
0在(-1,1)上恒成立,
故函数f(x)在(-1,1)上为减函数.
思维升华 确定函数单调性的方法:
(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;
(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;
(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.
(1)已知函数f(x)=
,则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,1]B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]D.[1,+∞)
(2)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.(-3,1)D.(-∞,-3)和(1,+∞)
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)设t=x2-2x-3,则t≥0,即x2-2x-3≥0,
解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).
因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,
所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,
在[3,+∞)上单调递增.
所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
(2)f′(x)=-2x·
ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)].
当-3<
x<
1时,f′(x)>
0,所以函数y=(3-x2)ex的单调递增区间是(-3,1),故选C.
题型二 函数的最值
例3
(1)函数f(x)=
的最大值为________.
答案 2
解析 当x≥1时,函数f(x)=
为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f
(1)=1;
1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.
故函数f(x)的最大值为2.
(2)已知f(x)=
,x∈[1,+∞),且a≤1.
①当a=
时,求函数f(x)的最小值;
②若对任意x∈[1,+∞),f(x)>
0恒成立,试求实数a的取值范围.
解 ①当a=
时,f(x)=x+
+2,
又x∈[1,+∞),所以f′(x)=1-
>
0,即f(x)在[1,+∞)上是增函数,
所以f(x)min=f
(1)=1+
+2=
②f(x)=x+
+2,x∈[1,+∞).
(ⅰ)当a≤0时,f(x)在[1,+∞)内为增函数.
最小值为f
(1)=a+3.
要使f(x)>
0在x∈[1,+∞)上恒成立,只需a+3>
所以-3<
a≤0.
(ⅱ)当0<
a≤1时,f′(x)=1-
因为x∈[1,+∞),所以f′(x)≥0,即f(x)在[1,+∞)上为增函数,
所以f(x)min=f
(1)=a+3,
即a+3>
0,a>
-3,所以0<
a≤1.
综上所述,f(x)在[1,+∞)上恒大于零时,
a的取值范围是(-3,1].
思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路
(1)单调性法:
先确定函数的单调性,再由单调性求最值.
(2)图象法:
先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.
(3)基本不等式法:
先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
(4)导数法:
先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.
(5)换元法:
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.
(1)函数y=x+
的最小值为________.
(2)函数f(x)=
(x>
1)的最小值为________.
答案
(1)1
(2)8
解析
(1)易知函数y=x+
在[1,+∞)上为增函数,∴x=1时,ymin=1.(本题也可用换元法求解)
(2)方法一 (基本不等式法)f(x)=
=(x-1)+
+2≥2
+2=8,
当且仅当x-1=
,即x=4时,f(x)min=8.
方法二 (导数法)f′(x)=
令f′(x)=0,得x=4或x=-2(舍去).
当1<
4时,f′(x)<
f(x)在(1,4)上是递减的;
当x>
4时,f′(x)>
f(x)在(4,+∞)上是递增的,
所以f(x)在x=4处取到极小值也是最小值,
即f(x)min=f(4)=8.
题型三 函数单调性的应用
命题点1 比较大小
例4 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>
x1>
1时,[f(x2)-f(x1)]·
(x2-x1)<
0恒成立,设a=f(-
),b=f
(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>
a>
bB.c>
b>
aC.a>
c>
bD.b>
c
答案 D
解析 根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f(-
)=f(
),且2<
<
3,所以b>
c.
命题点2 解函数不等式
例5 (2017·
珠海月考)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f(
)=0,则满足f(log
x)>
0的x的集合为________________.
答案 {x|0<
或1<
x<3}
解析 由题意知f(
)=0,f(-
)=0,
由f(log
0,得log
x>
或-
log
0,解得0<
3.
命题点3 求参数范围
例6
(1)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( )
A.a>
B.a≥-
C.-
≤a<
0D.-
≤a≤0
满足对任意x1≠x2,都有
0成立,那么a的取值范围是________.
答案
(1)D
(2)[
,2)
解析
(1)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;
当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-
因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,
所以a<
0,且-
≥4,解得-
综合上述得-
≤a≤0.
(2)由已知条件得f(x)为增函数,
所以
解得
2,所以a的取值范围是[
,2).
思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区