第二章 函数与基本初等函数I第2讲 函数的单调性与最值 讲义辅导培训班家教一轮复习专用Word文档格式.docx

1、函数单调性的常用结论（1）对x1，x2D（x1x2）， 0f（x）在D上是增函数， 0）的增区间为（，和，），减区间为，0）和（0，（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数（4）函数f（g（x）的单调性与函数yf（u）和ug（x）的单调性的关系是“同增异减”【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）（1）若定义在R上的函数f（x），有f（1）0时，由题意得2a1（a1）2，即a2；当a0）的单调增区间为_答案（0，）解析函数的对称轴为x1，又x0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，）4（教材改编）已知函数f（x）x22ax3在区间1,2上是增函数，

2、则实数a的取值范围为_答案（，1解析函数f（x）x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数f（x）的单调递增区间是a，），由1,2a，），可得a1.5（教材改编）已知函数f（x），x2,6，则f（x）的最大值为_，最小值为_答案2解析可判断函数f（x）在2,6上为减函数，所以f（x）maxf（2）2，f（x）minf（6）.题型一确定函数的单调性（区间）命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1（1）函数f（x）log （x24）的单调递增区间是（）A（0，） B（，0）C（2，） D（，2）（2）yx22|x|3的单调递增区间为_答案（1）D（2）（，1，0,

3、1解析（1）因为ylogt，t0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为（，2）（2）由题意知，当x0时，yx22x3（x1）24；当x0时，yx22x3（x1）24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3在（，1，0,1上是增函数. 命题点2解析式含参数的函数的单调性例2已知函数f（x）0），用定义法判断函数f（x）在（1,1）上的单调性解设1x1x21，则f（x1）f（x2）10，x1x210，（x1）（x1）0.又a0，f（x1）f（x2）函数f（x）在（1,1）上为减函数引申探究如何用导数法求解例2?解

4、f（x），a0，f（x）0在（1,1）上恒成立，故函数f（x）在（1,1）上为减函数思维升华确定函数单调性的方法：（1）定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；（2）复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；（3）图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接（1）已知函数f（x），则该函数的单调递增区间为（）A（，1 B3，）C（，1 D1，）（2）函数f（x）（3x2）ex的单调递增区间是（）A（，0） B（0，）C（3,1） D（，3）和（1，）答案（1）B（2）C解析（1）设tx22x3，则t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为（，13，）因为函数tx2

5、2x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在（，1上单调递减，在3，）上单调递增所以函数f（x）的单调递增区间为3，）（2）f（x）2xexex（3x2）ex（x22x3）ex（x3）（x1）当3x0，所以函数y（3x2）ex的单调递增区间是（3,1），故选C.题型二函数的最值例3（1）函数f（x）的最大值为_答案2解析当x1时，函数f（x）为减函数，所以f（x）在x1处取得最大值，为f（1）1；1时，易知函数f（x）x22在x0处取得最大值，为f（0）2.故函数f（x）的最大值为2.（2）已知f（x），x1，），且a1.当a时，求函数f（x）的最小值；若对任意x1，），f（x）0恒成立，试求实数

6、a的取值范围解当a时，f（x）x2，又x1，），所以f（x）10，即f（x）在1，）上是增函数，所以f（x）minf（1）12f（x）x2，x1，）（）当a0时，f（x）在1，）内为增函数最小值为f（1）a3.要使f（x）0在x1，）上恒成立，只需a3所以3a0.（）当00，a3，所以01）的最小值为_答案（1）1（2）8解析（1）易知函数yx在1，）上为增函数，x1时，ymin1.（本题也可用换元法求解）（2）方法一（基本不等式法）f（x）（x1）2228，当且仅当x1，即x4时，f（x）min8.方法二（导数法）f（x）令f（x）0，得x4或x2（舍去）当14时，f（x）4时，f（x）f（

7、x）在（4，）上是递增的，所以f（x）在x4处取到极小值也是最小值，即f（x）minf（4）8.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f（x2）f（x1）（x2x1）ab Bcba Cacb Dbc答案D解析根据已知可得函数f（x）的图象关于直线x1对称，且在（1，）上是减函数，因为af（）f（），且2c.命题点2解函数不等式例5（2017珠海月考）定义在R上的奇函数yf（x）在（0，）上递增，且f（）0，则满足f（logx）0的x的集合为_答案x|0或1或log0，解得0 BaCa0 Da0满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是_答案（1）D（2） ，2）解析（1）当a0时，f（x）2x3，在定义域R上是单调递增的，故在（，4）上单调递增；当a0时，二次函数f（x）的对称轴为x因为f（x）在（，4）上单调递增，所以a0，且4，解得综合上述得a0.（2）由已知条件得f（x）为增函数，所以解得2，所以a的取值范围是，2）思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（1）比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区