备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展练习专题39数列与数学归纳法Word文件下载.docx

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命题成立时，可用的条件只有

，而不能默认其它

的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设

，命题均成立，然后证明

命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：

时，命题均成立.

5.注意点：

对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；

二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；

三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.

【经典例题】

例1.【2018届重庆市第一中学5月月考】已知

为正项数列

的前

项和，

，记数列

项和为

，则

的最小值为______.

【答案】

【解析】分析：

由题意首先求得

，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.

详解：

由题意结合

，

以下用数学归纳法进行证明：

当

时，结论是成立的，

假设当

时，数列的通项公式为：

由题意可知：

结合假设有：

，解得：

综上可得数列的通项公式是正确的.

据此可知：

利用等差数列前n项和公式可得：

则

结合对勾函数的性质可知，当

或

时，

取得最小值，

时

由于

，据此可知

的最小值为

.

点睛：

本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

例2.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2（n∈N*）

（1）求

的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；

（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

（1）

；

（2）见解析.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×

a4－2，∴a4＝16.

由此猜想：

（n∈N*）．

（2）证明：

①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即

，

那么n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak

∴ak＋1=2ak

这表明n＝k＋1时，猜想成立，

由①②知猜想

成立．

数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：

递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

例3．已知数列

满足：

（Ⅰ）试求数列

的值；

（Ⅱ）请猜想

的通项公式

，并运用数学归纳法证明之.

（Ⅰ）

.

（Ⅱ）

，证明见解析.

由此猜想

下面用数学归纳法证明之：

时，

，结论成立；

时，结论成立，即有

则对于

∴当

时，结论成立.

综上，可得对

成立

运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：

1、第一步：

归纳奠基（即验证

时成立）；

第二步：

归纳递推（即假设

时成立，验证

3、两个条件缺一不可，在验证

时成立时一定要用到归纳假设

时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致.

例4.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列

中，

）．　

（1）求证：

（2）求证：

是等差数列；

（3）设

，求证：

．

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）利用数学归纳法可证明；

（2）化简

，由

可得

（3）由

（2）可得

，从而可得

，先证明

，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.

（2）由

，得

所以

即

所以，数列

是等差数列．

（3）由

（2）知，

∴

因此

显然

，只需证明

即可．

．

例5.已知函数

（1）若函数

在

处切线斜率为

，已知

（2）在

（1）的条件下，求证：

【答案】见解析

下面用数学归纳法证明：

成立，则

时，不等式成立

（2）

由

（1）可知

例6．【浙江省绍兴市2018届5月调测】已知数列

中

（1）证明：

（2）设数列

，证明：

（1）见解析；

（2）见解析

（1）数学归纳法：

①当

，显然有

②假设当

，结论成立，即

那么

综上所述

成立.

（2）由

（1）知：

即

解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；

数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．

例7．【福建省南平市2018届5月检查】己知函数

（Ⅰ）求函数

的单调区间；

（Ⅱ）若函数

的最小值为-1，

，数列

满足

，记

表示不超过

的最大整数．证明：

（Ⅰ）见解析;

（Ⅱ）见解析.

（Ⅰ）函数

的定义域为

1、当

，即

上为增函数；

2、当

时，令

得

同理可得

上为减函数.

（Ⅱ）

有最小值为-1，由（Ⅰ）知函数

的最小值点为

令

，故

上是减函数

所以当

∵

，∴

.（未证明，直接得出不扣分）

.由

从而

.∵

猜想当

下面用数学归纳法证明猜想正确.

时，猜想正确.

2、假设

时，有

由（Ⅰ）知

是

上的增函数，

例8.已知函数

，在原点

处切线的斜率为

为常数且

的解析式；

（2）计算

，并由此猜想出数列

的通项公式；

（3）用数学归纳法证明你的猜想．

；

（3）证明见解析．

由此猜想数列的通项公式应为

（3）①当

时，猜想显然成立，

②假设

时，猜想成立，即

则当

即当

时，猜想成立．由①②知，

对一切正整数

都成立．

例9.已知数列

是等差数列，

（1）求数列

的通项

（其中

且

）记

是数列

项和，试比较

的大小，并证明你的结论.

（2）当

当

（1）设数列{bn}的公差为d,

由题意得

∴bn=3n－2.

（2）证明：

由bn=3n－2知Sn=loga（1+1）+loga（1+

）+…+loga（1+

）

=loga［（1+1）（1+

）…（1+

）］

而

logabn+1=loga

于是，比较Sn与

logabn+1的大小

比较（1+1）（1+

）…（1+

）与

的大小

取n=1，有（1+1）=

取n=2，有（1+1）（1+

推测（1+1）（1+

）＞

（*）

①当n=1时，已验证（*）式成立

②假设n=k（k≥1）时（*）式成立，即（1+1）（1+

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，（*）式成立

由①②知，（*）式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，Sn＞

logabn+1,当0＜a＜1时，Sn＜

logabn+1.

例10.【2018年浙江省高考模拟】已知数列

证明：

（3）

（2）见解析；

（3）见解析

由数列的递推式，以及

（2）的结论可得

，根据等比数列的通项公式即可证明

，再结合已知可得

，即可证明不等式成立.

（1）数学归纳法证明：

时，

，成立，那么

时，假设

，矛盾

得证

设

则

（3）由

（2）得

又

，所以

【精选精练】

1．用数学归纳法证明“

”时，由

时等式成立推证

时，左边应增加的项为__________.

项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：

一是首尾两项的变化规律；

二是相邻两项之间的变化规律.

2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．

由题意得：

“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n项为

x+kw

3．已知数列

（2）根据

（1）的结果猜想出

的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；

（3）若

，且

，求

，证明见解析；

（2）由此猜想

下面用数学归纳法加以证明：

时，由

（1）知

成立；

成立.

时，结论也成立；

由①②可知，

的通项公式为

4．已知数列

，且满足

（1）计算

，根据计算结果，