最新五年级上册奥数讲义Word格式.docx

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b）。

例如：

如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：

如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除。

即：

如果m｜a，n｜a，那么[m，n]｜a。

如果6｜36，9｜36，那么[6，9]｜36。

性质3：

如果m、n都能整除a，且m和n互质，那么m与n的积能整除a。

如果m｜a，n｜a，且（m，n）=1，那么（m×

n）｜a。

如果2｜72，9｜72，且（2，7）=1，那么18｜72。

性质4：

如果a能整除b，b能整除m，那么a能整除m。

　　即：

如果a｜b，b｜m，那么a｜m。

例：

如果7｜14，14｜28，那么7｜28。

4.数的整除特征

（1）能被2整除的数的特征：

如果一个整数的个位数是偶数（即个位数是2、4、6、8、0），那么它必能被2整除。

（2）能被5整除的数的特征：

如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除。

　（3）能被3（或9）整除的数的特征：

如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除。

　（4）能被4（或25）整除的数的特征：

如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除。

1864能否被4整除？

解：

1864=1800+64，因为4｜64，4是1864的因数，1864是4的倍数，所以4｜1864。

　（5）能被8（或125）整除的数的特征：

如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除。

29375能否被125整除？

29375=29000+375，因为125｜375，125是375的因数，375是125的倍数，所以125｜29375。

　（6）能被11整除的数的特征：

如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

（奇数位指：

这个数的个位、百位、万位……；

偶数位指：

这个数的十位、千位、十万位……）

例：

判断13574是否是11的倍数？

　　解：

这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：

（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。

因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。

因此13574是11的倍数。

判断123456789这九位数能否被11整除？

　　解：

这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

（7）能被7（11或13）整除的数的特征：

一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

判断1059282是否是7的倍数？

解：

把1059282分为1059和282两个数。

因为1059-282＝777，又因为7｜777，所以7｜1059282。

因此1059282是7的倍数。

判断3546725能否被13整除？

　　解：

把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725。

二、典型例题详解

猜猜会是什么数？

【例1】：

一个856五位数，能被3、4、5整除，这样的五位数中，最小的一个是多少？

先将856，看做856ab。

∵3｜856ab，则3｜8+5+6+a+b，3｜19+a+b，∴a+b=2或a+b=5或a+b=8。

∵4｜856ab，则4｜ab，∴ab=偶数

∵5｜856ab，则b=0或b=5，又∵ab为偶数，∴b=0

∵a+b=2或a+b=5或a+b=8，且b=0，∴a=2或a=5或a=8

当a=2，b=0时，这个数为85620；

当a=5，b=0时，这个数为85650；

当a=8，b=0时，这个数为85680。

答：

五位数中最小的一个是85620。

【例2】：

一本老账本上记着：

72只桶，共67.9元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上。

先将67.9，看做整数a679b。

∵72=8×

9，且（8，9）=1，∴8｜a679b，且9｜a679b。

若8｜a679b，则8｜79b，所以b=2。

若9｜a679b，b=2，则9｜a6792，9｜a+6+7+9+2，9｜a+24，所以a应是3。

所以这个数应是

这笔账应是元。

【例3】：

173是一个四位数，在其中的方框中先后填入三个数字，所得到的三个四位数，依次可以被9、11、6整除。

先后填入的三个数字的和是多少？

[方法一]试商法

[方法二]倍数特征

三、课后作业

1.在中填入适当的数字，使所组成的数能够被

4整除。

7847653863

3.一个六位数2356是22的倍数，那么这样

的六位数中，最大的一个是多少？

2.71450至少加上多少后就能被4整除？

4.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

5.一位采购员买了同样的72只热水杯，可是发票不慎弄湿，单价无法辨认，总价数字也不全，只能看出：

173.元。

你能算出热水杯的单价吗？

第2课倍数与因数

（一）

1.质数与合数

质数：

一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数。

（素数）

合数：

一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

质因数：

如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

分解质因数：

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

30分解质因数。

30=2×

3×

5答：

2、3、5是30的质因数。

分解质因数的方法：

可以用短除式来求质因数

100以内的质数（要会背的）：

2、3、5、7、

11、13、17、19、

23、29、

31、37、

41、43、47、

53、59、

61、67、

71、73、79、

83、89、

97.

3.公因数与公倍数

公因数：

几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。

公倍数：

几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

一个数的因数的个数是（）的，倍数的个数是（）的。

几个数的公因数的个数是（）的，公倍数的个数是（）的。

4.最大公因数与最小公倍数

最大公因数：

在几个自然数的公因数中，最大的一个称为这几个数的最大公因数。

a、b的最大公因数=（a，b）

最小公倍数：

在几个自然数的公倍数中，除零外最小的一个称为这几个数的最小公倍数。

a、b的最小公倍数=[a、b]

（18，30）=2×

3=6[18，30]=2×

5=90

用短除法计算：

【例1】五年级三个班分别有30、24、42人参加课外科技活动，现在要把参加的人分成人数相等的小级，并且各班同学不能打乱，那么每组最多多少人？

一共可以分成多少个小组？

30=2×

5

24=2×

2×

2

42=2×

7

（30，24，42）=2×

3=6（人）

30÷

6=5（个）

24÷

6=4（个）

42÷

6=7（个）

5＋4＋7=16（个）

答：

每组最多可以分6人，一共可以分16个组。

【例2】有一种长16厘米，宽12厘米的塑料扣板，如果用这种扣板拼成一个正方形，最少需要多少块？

16=2×

12=2×

3

[16，12]=2×

=48（厘米）

48÷

16=3（块）

12=4（块）

3×

4=12（块）

最少需要12块扣板。

【例3】甲对乙说：

“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。

”求出甲、乙现在的年龄。

∵甲现在的年龄是乙的7倍，则甲的年龄比乙大6倍；

∵当甲的年龄是乙的6倍时，则甲的年龄比乙大5倍；

∵当甲的年龄是乙的5倍时，则甲的年龄比乙大4倍；

∵当甲的年龄是乙的4倍时，则甲的年龄比乙大3倍；

∵当甲的年龄是乙的3倍时，则甲的年龄比乙大2倍；

∵当甲的年龄是乙的2倍时，则甲的年龄比乙大1倍；

∴甲、乙的年龄差是6、5、4、3、2的公倍数。

[6，5，4，3，2]=6×

5×

4×

2=60（岁）

60÷

（7-1）=10（岁）

10+60=70（岁）

甲的年龄是70岁，乙的年龄是10岁。

【例4】写出三个小于20的自然数，它们的最大公因数为1，但两两均不互质，共有几组?

假设这三个数分别是a、b、c

∵a、b、c两两不互质，且a＜20，b＜20，c＜20，

则两两间的质因数互不相同且乘积小于20

（a，b）=2或（a，b）=3或（a，b）=5；

（a，c）=2或（a，c）=3或（a，c）=5；

（b，c）=2或（b，c）=3或（b，c）=5；

∴a，b，c三数有可能是2×

3=6，2×

5=10，3×

5=15，2×

6=12，3×

6=18。

又∵（a，b，c）=1；

（6，10，15）=1；

（10，15，12）=11；

（10，15，18）=

共有三组，分别是（6、10、15），（10、12、15），（10、15、18）。

三、课后习题

1.求56，36，284的最小公倍数。

3.三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别为半分钟、45秒钟、1分15秒。

三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次在起点相会？

5.把一张长120cm，宽80cm的长方形纸裁成同样大小的正方形（纸不能有剩余），至少能裁成多少张这样的正方形纸，每张裁成的纸是多大？

2.有336个苹果、252个梨子、210个桔子，用这三种水果最多可以分成多少份相同的礼物？

每份礼物中，三种水果各占多少？

4.有一个表，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃。

中午12点时既亮灯又响铃。

下次既亮灯又响铃在几点？

6.用一个数去除31，61，76都余1，这个数最大是多少？

第3课倍数与因数

（二）

1.最小公倍数与最大公因数之间的关系

定理一：

两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

如果（a，b）=d，那么（a÷

d，b÷

d）=1

定理二：

两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘积。

[a，b]×

（a，b）=a×

b

定理三：

两