最新211变化率与导数导数的计算学案高考一轮复习Word格式.docx

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函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是__________________________＝，

称其为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0.

（2）导函数：

当上式中的x0看作变量x时，函数f′（x）为f（x）的________．

（3）导数的几何意义：

f′（x0）是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的________，相应的切线方程是_____________________．

2．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝xn（n∈Q*）

f′（x）＝_______

f（x）＝sinx

f（x）＝cosx

f（x）＝ax

f′（x）＝_____（a>

0）

f（x）＝ex

f′（x）＝_____

f（x）＝logax

f′（x）＝______（a>

0，且a≠1）

f（x）＝lnx

3.运算法则

（1）[f（x）±

g（x）]′＝_________________；

（2）[f（x）·

g（x）]′＝________________________；

（3）[]′＝_______________________（g（x）≠0）．

五．复习前测：

1．已知函数f（x）＝sinx＋lnx，则f′

（1）的值为（　　）

A．1－cos1B．1＋cos1

C．cos1－1D．－1－cos1

2．函数y＝xcosx－sinx的导数为（　　）

A．xsinxB．－xsinx

C．xcosxD．－xcosx

3．某汽车的路程函数是s（t）＝2t3－gt2（g＝10m/s2），则当t＝2s时，汽车的加速度是（　　）

A．14m/s2B．4m/s2

C．10m/s2D．－4m/s2

4．已知函数f（x）＝，则f′

（1）f（0）＝__________.

5．已知函数f（x）＝xex，则f′（x）＝__________；

函数f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为__________．

要点点拨：

1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线的切线的求法

若已知曲线过点P（x0，y0），求曲线的切线则需分点P（x0，y0）是切点和不是切点两种情况求解．

（1）点P（x0，y0）是切点的切线方程y－y0＝f′（x0）（x－x0）．

（2）当点P（x0，y0）不是切点时可分以下几步完成：

第一步：

设出切点坐标P′（x1，f（x1））．

第二步：

写出过P′（x1，f（x1））的切线方程为y－f（x1）＝f′（x1）（x－x1）．

第三步：

将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程求出x1.

第四步：

将x1的值代入方程y－f（x1）＝f′（x1）·

（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程.

六．复习过程：

题型一：

利用导数的定义求函数的导数

[例1]　

（1）求函数y＝x2的导数．

（2）求函数y＝在x＝1处的导数．

[思路点拨]　解决本题的关键是正确的求出Δy，，然后求出极限即可．

.

[规律总结]　注意[f（x0）]′，f′（x0）与f′（x）的区别：

f′（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值，不一定为0；

而[f（x0）]′是函数值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常数值，其导数一定为0，即[f（x0）]′＝0，而f′（x）是函数f（x）的导函数，是一个函数，是f（x）求导后的函数关系.

变式训练1

一质点运动的方程为s＝8－3t2.

（1）求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及导数公式两种方法）．

题型二：

导数的计算

[例2]　求下列函数的导数：

（1）y＝（2x2－1）（3x＋1）；

（2）y＝；

（3）y＝－sin（1－2cos2）．

[规律总结]　导数运算时应注意的问题：

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

变式训练2

求下列函数的导数：

（1）y＝3xex－2x＋e；

（2）y＝

题型三：

导数的几何意义

[例3]　已知曲线y＝x3＋.

（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；

（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程．

[规律总结]　求解过曲线上某点的切线方程时，应注意到这条切线与曲线的切点不一定是该点．

变式训练3

曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1，x∈[1,2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为__________．

题型四：

导数几何意义的综合应用

[例4]　若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于（　　）

A．－1或－　B．－1或

C．－或－D．－或7

变式训练4

（2013·

惠州质检）已知f（x）＝lnx，g（x）＝x3＋x2＋mx＋n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1,0）．

（1）求直线l的方程；

（2）求函数g（x）的解析式．

创新探究——导数几何意义规范解答

[例题]　（2012·

重庆）设f（x）＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于y轴．

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

[思路点拨]　

（1）对f（x）求导，运用f′

（1）＝0求出a的值；

（2）由f′（x）＝0解得x值，结合函数定义域，讨论在各区间上f′（x）的符号，从而确定极值．

链接高考：

1．（2012·

广东）曲线y＝x3－x＋3在点（1,3）处的切线方程为__________．

2．（2012·

辽宁）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．

七．反馈练习：

1．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（　　）

A．e2B．e

C.D．ln2

2．曲线y＝－在点M（，0）处的切线的斜率为（　　）

A．－B.

C．－D.

3．已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）

A．0<

f′

（2）<

f′（3）<

f（3）－f

（2）

B．0<

f（3）－f

（2）<

f′

（2）

C．0<

D．0<

f′（3）

4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）

A．[0，）B．[，）

C．（，]D．[，π）

5．已知点P（，－1）在函数f（x）＝cosx的图象上，则该函数的图象在x＝处的切线方程是（　　）

A．2x＋y－＝0

B．2x－y＋＝0

C．2x－y－＝0

D.x＋2y＋＝0

6．（2013·

泰安模拟）若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　）

A．1B.

C.D.

7．已知函数f（x）＝f′（）sinx＋cosx，则f（）＝__________.

8．若曲线y＝g（x）在点（1，g

（1））处的切线的方程为y＝2x＋1，则曲线f（x）＝g（x）＋lnx在点（1，f

（1））处切线的斜率为__________，该切线方程为________．

9．已知f1（x）＝sinx＋cosx，记f2（x）＝f′1（x），f3（x）＝f′2（x），…，fn（x）＝fn－1′（x）（n∈N*，n≥2），则f1（）＋f2（）＋…＋f2012（）＝__________.

10．求下列函数的导数．

（1）y＝x2sinx；

（2）y＝.

11．已知函数f（x）＝x3－3x及y＝f（x）上一点P（1，－2），过点P作直线l.

（1）求使直线l和y＝f（x）相切且以P为切点的直线方程；

（2）求使直线l和y＝f（x）相切且切点异于P的直线方程．

（二）创业优势分析

12．设函数f（x）＝lnx－ax2－bx.

众上所述，我们认为：

我们的创意小屋计划或许虽然会有很多的挑战和困难，但我们会吸取和借鉴“漂亮女生”和“碧芝”的成功经验，在产品的质量和创意上多下工夫，使自己的产品能领导潮流，领导时尚。

在它们还没有打入学校这个市场时，我们要巩固我们的学生市场，制作一些吸引学生，又有使学生能接受的价格，勇敢的面对它们的挑战，使自己立于不败之地。

（1）当a＝b＝时，求f（x）的最大值；

送人□有实用价值□装饰□

（2）令F（x）＝f（x）＋ax2＋bx＋（0<

x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围．

尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。

这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。

在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。

可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。

而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。

木质、石质、骨质、琉璃、藏银……一颗颗、一粒粒、一片片，都浓缩了自然之美，展现着千种风情、万种诱惑，与中国结艺的朴实形成了鲜明的对比，代表着欧洲贵族风格的饰品成了他们最大的主题。

虽然调查显示我们的创意计划有很大的发展空间，但是各种如“漂亮女生”和“碧芝”等连锁饰品店在不久的将来将对我们的创意小屋会产生很大的威胁。

标题：

上海发出通知为大学生就业—鼓励自主创业，灵活就业2004年3月17日

（1）价格低

（1）专业知识限制

八．思维总结：

九．自我评价：

1．你对本章的复习的自我评价如何？

A．很好B．一般C．不太好

2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？