中值定理的证明题Word下载.docx

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（1）在上连续

（2）在内可导

（3）

则一定存在使得

3、拉格朗日中值定理

则一定存在，使得

4、柯西中值定理

若函数满足:

则至少有一点使得

5、泰勒公式

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数则当在内时可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即

其中（介于与之间）

在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：

1．展开的基点；

2．展开的阶数；

3．余项的形式．

其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．

而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．

6、积分中值定理

若f（x）在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得

f（x）dx=f（c）（b-a）

三、典型题型与例题

题型一、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f（x）=0有根）

方法：

大多用介值定理f（x）满足：

在[a,b]上连续；

f（a）f（b）<

0.

思路：

1）直接法

2）间接法或辅助函数法

例1、设在[a,b]上连续，，证明存在，使得

例2、设在[a,b]上连续、单调递增，且，证明存在使得

例3、设在[a,b]上连续且，证明存在使得。

例4、设在[a,b]上连续，证明存在使得

例5、设f（x）在[0,1]上连续，且f（x）<

1.证明：

在（0,1）内有且仅有一个实根。

例6、设实数满足关系式，证明方程

，在内至少有一实根。

例7、（0234，6分）

设函数f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且g（x）>

0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得

题型二、验证满足某中值定理

例8、验证函数，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的

题型三、证明存在,使（n=1,2,…）

方法：

思路：

例9、设在[a,b]上可导且，证明至少存在一个

使得

例10、设在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得

例11、设在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得

题型四、证明存在,使

（1）用罗尔定理

1）原函数法:

步骤：

例12、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且，求证存在使得

例13、（0134）设f（x）在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且

证明：

在（0,1）内至少存在一点x,使

例14、设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f（a）f（b）>

0,f（a）g（x）在[a,b]上连续，试证对.

例15、设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且.

试证：

使得.

[证]令，则F（0）=F

（1）=0.又

于是，使，即

设则，使得

，即.

2）常微分方程法:

适用:

步骤：

例16、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且，证明存在使得

例17、设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=0,f

（1）=1,

证明：

对任意实数,使得

（2）直接用拉格朗日或柯西中值定理

例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得

题型五、含有（或更高阶导数）的介值问题

例22、设f（x）在[0,1]上二阶可导，且f（0）=f

（1）=0,试证至少存在一个,使

例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f（0）=0

（1）写出f（x）的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。

（2）证明在上至少存在一个使得

例24、设f（x）在[－1,1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0,f

（1）=1,f¢

（0）=0,证明:

在（-1,1）内存在一点x，使得

例25、设f（x）在[－a,a]上具有三阶连续导数，且满足，

f（0）=0,证明:

在[-a,a]内存在一点x，使得

[证]由

=，

知，

根据泰勒公式，有

其中介于0与x之间，.

于是

其中M、m为（由题设可推知在[-a,a]上连续）在[-a,a]上的最大值、最小值.进一步有

故存在，使得，即

题型六、双介值问题

例26、设在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，，求证存在使得

例27、（051，12分）已知函数在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且

（1）存在，使得

（2）存在两个不同的点使得

题型七、综合题

例28、（011，7分）

设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证

（1）对于（-1,1）内的任意,存在唯一的使得

成立

（2）

例29、试证明若在[a,b]上存在二阶导数，且，则存在使得

例30、设e<

a<

b,求证：

在（a,b）内存在唯一的点ξ，使得

[证]

为证唯一性，再证

令

唯一性.

题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题

1）反证法

例30、设f（x）在[-2,2]上连续，在（-2,2）内二阶连续可导,且.求证存在,使

[证]反证若对不变号

1）,f

（2）=f（0）+

与左端小于等于1矛盾.

2）f（-2）=f（0）-

同理矛盾

变号，从而结论成立.

2）隐含问题

例31、（2000年）设f（x）在[0,1]上连续，,g（x）在[0,1]上有连续的导数且在（0,1）内，并且证明：

至少存在两个不同的点,使.

又

=

结论.