1、(1)在上连续(2)在内可导(3)则一定存在使得3、 拉格朗日中值定理则一定存在,使得4、 柯西中值定理若函数满足:则至少有一点使得5、 泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数 则当在内时 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和,即其中 (介于与之间)在需要用到泰勒公式时,必须要搞清楚三点:1展开的基点;2展开的阶数;3余项的形式其中余项的形式,一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式,在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数,要根据具体的问题来确定6、 积分中值定理 若f(x)在a、b上连续,则至少存在一点ca、b,使得f(x)dx=f(c)(b-a)三、 典型
2、题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题(证明存在使或方程f(x)=0有根)方法:大多用介值定理 f(x)满足:在a,b上连续;f(a)f(b)0.思路:1)直接法 2)间接法或辅助函数法例1、设在a,b上连续,证明存在 ,使得 例2、设在a,b上连续、单调递增,且,证明存在 使得 例3、设在a,b上连续且,证明存在使得 。例4、设在a,b上连续,证明存在使得例5、 设f(x)在0,1上连续,且f(x)0,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点使得题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数,在0,2上满足拉格朗日中值定理,并求满足定理的题型三、 证明存在, 使(n=1,2,) 方法: 思路:
3、例9、设在a,b上可导且,证明至少存在一个使得例10、设在0,3上连续,在(0,3)内可导,且,证明存在一个使得例11、设在0,2上连续,在(0,2)内具有二阶导数且,证明存在使得题型四、 证明存在, 使(1) 用罗尔定理 1) 原函数法:步骤:例12、设在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,求证存在使得例13、(0134)设f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 证明:在(0,1)内至少存在一点x, 使 例14、 设f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)0,f(a) g(x)在a,b上连续,试证对.例15、 设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内一阶可导,且
4、.试证:使得 . 证 令 ,则F(0)=F(1)=0. 又于是 ,使 ,即 设 则 ,使得,即 . 2) 常微分方程法: 适用: 步骤:例16、设在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,证明存在使得例17、设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0, f(1)=1, 证明:对任意实数 , 使得 (2) 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设在上连续,在内可导,求证存在,使得例19、设在上连续,在内可导,求证存在,使得例20、设在上连续,在内可导,求证存在,使得 例21、设在上连续,在内可导,求证存在,使得 题型五、 含有(或更高阶导数)的介值问题例22、 设f(x)在0,1
5、上二阶可导,且f(0)=f(1)=0, 试证至少存在一个, 使 例23、(012,8分)设在上具有二阶连续导数,f(0)=0(1) 写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。(2) 证明在上至少存在一个使得例24、 设f(x)在1, 1上具有三阶连续导数,且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0, 证明: 在(-1,1)内存在一点x,使得例25、设f(x)在a, a上具有三阶连续导数,且满足,f (0)=0, 证明: 在-a, a内存在一点x,使得证 由 =,知 , 根据泰勒公式,有其中 介于0与x之间,.于是 其中M、m为(由题设可推知在-a,a上连续)在-a, a上的最大值、最小
6、值. 进一步有 故存在, 使得 ,即题型六、 双介值问题例26、设在a,b上连续,在(a,b)内可导,求证存在使得例27、(051,12分)已知函数在0,1上连续,在(0,1)内可导,且(1)存在,使得 (2)存在两个不同的点使得题型七、 综合题例28、(011,7分) 设函数在(-1,1)内具有二阶连续导数,且,试证(1) 对于(-1,1)内的任意,存在唯一的使得 成立(2)例29、试证明若在a,b上存在二阶导数,且,则存在使得例30、设eab, 求证:在(a,b)内存在唯一的点,使得证 为证唯一性,再证令唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题 1)反证法例30、设f(x)在-2,2上连续,在(-2,2)内二阶连续可导,且. 求证存在, 使证 反证 若对不变号1) , f(2)=f(0)+ 与左端小于等于1矛盾.2) f(-2)=f(0)- , 同理矛盾变号,从而结论成立. 2)隐含问题例31、(2000年)设f(x)在0,1上连续,, g(x)在0,1上有连续的导数且在(0,1)内,并且 证明:至少存在两个不同的点, 使 .又 =结论.
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