中值定理的证明题Word下载.docx

1、（1）在上连续（2）在内可导（3）则一定存在使得3、 拉格朗日中值定理则一定存在，使得4、 柯西中值定理若函数满足:则至少有一点使得5、 泰勒公式如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数 则当在内时 可以表示为的一个次多项式与一个余项之和，即其中 （介于与之间）在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：1展开的基点；2展开的阶数；3余项的形式其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式而基点和阶数，要根据具体的问题来确定6、 积分中值定理 若f（x）在a、b上连续，则至少存在一点ca、b，使得f（x）dx=f（c）（b-a）三、 典型

2、题型与例题题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在使或方程f（x）=0有根）方法：大多用介值定理 f（x）满足：在a,b上连续；f（a）f（b）0.思路：1）直接法 2）间接法或辅助函数法例1、设在a,b上连续，证明存在 ，使得 例2、设在a,b上连续、单调递增，且，证明存在 使得 例3、设在a,b上连续且，证明存在使得 。例4、设在a,b上连续，证明存在使得例5、 设f（x）在0,1上连续，且f（x）0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点使得题型二、 验证满足某中值定理例8、验证函数，在0，2上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的题型三、 证明存在, 使（n=1,2,） 方法： 思路：

3、例9、设在a,b上可导且，证明至少存在一个使得例10、设在0,3上连续，在（0,3）内可导，且，证明存在一个使得例11、设在0,2上连续，在（0，2）内具有二阶导数且，证明存在使得题型四、 证明存在, 使（1） 用罗尔定理 1） 原函数法:步骤：例12、设在a,b上连续，在（a,b）内可导，且，求证存在使得例13、（0134）设f（x）在0,1上连续，（0,1）内可导，且 证明：在（0,1）内至少存在一点x, 使 例14、 设f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导，且f（a）f（b）0,f（a） g（x）在a,b上连续，试证对.例15、 设f（x）在0，1上连续，在（0，1）内一阶可导，且

4、.试证：使得 . 证 令 ，则F（0）=F（1）=0. 又于是 ，使 ，即 设 则 ，使得，即 . 2） 常微分方程法: 适用: 步骤：例16、设在a,b上连续，在（a,b）内可导，且，证明存在使得例17、设f（x）在0,1上连续，在（0,1）内可导，且 f（0）=0, f（1）=1, 证明：对任意实数 , 使得 （2） 直接用拉格朗日或柯西中值定理例18、设在上连续，在内可导，求证存在，使得例19、设在上连续，在内可导，求证存在，使得例20、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 例21、设在上连续，在内可导，求证存在，使得 题型五、 含有（或更高阶导数）的介值问题例22、 设f（x）在0,1

5、上二阶可导，且f（0）=f（1）=0, 试证至少存在一个, 使 例23、（012，8分）设在上具有二阶连续导数，f（0）=0（1） 写出f（x）的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。（2） 证明在上至少存在一个使得例24、 设f（x）在1, 1上具有三阶连续导数，且f（-1）=0, f（1）=1, f（0）=0, 证明: 在（-1,1）内存在一点x，使得例25、设f（x）在a, a上具有三阶连续导数，且满足，f （0）=0, 证明: 在-a, a内存在一点x，使得证 由 =，知 ， 根据泰勒公式，有其中 介于0与x之间，.于是 其中M、m为（由题设可推知在-a,a上连续）在-a, a上的最大值、最小

6、值. 进一步有 故存在， 使得 ，即题型六、 双介值问题例26、设在a,b上连续，在（a,b）内可导，求证存在使得例27、（051，12分）已知函数在0,1上连续，在（0,1）内可导，且（1）存在，使得 （2）存在两个不同的点使得题型七、 综合题例28、（011，7分） 设函数在（-1,1）内具有二阶连续导数，且，试证（1） 对于（-1,1）内的任意,存在唯一的使得 成立（2）例29、试证明若在a,b上存在二阶导数，且，则存在使得例30、设eab, 求证：在（a,b）内存在唯一的点，使得证 为证唯一性，再证令唯一性.题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题 1）反证法例30、设f（x）在-2,2上连续，在（-2,2）内二阶连续可导,且. 求证存在, 使证 反证 若对不变号1） , f（2）=f（0）+ 与左端小于等于1矛盾.2） f（-2）=f（0）- , 同理矛盾变号，从而结论成立. 2）隐含问题例31、（2000年）设f（x）在0,1上连续，, g（x）在0,1上有连续的导数且在（0,1）内，并且 证明：至少存在两个不同的点, 使 .又 =结论.