高考数学一轮复习 第十二章 推理证明算法复数 125 二项分布及其应用 理Word文档格式.docx

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（2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）条件概率一定不等于它的非条件概率．（　×

　）

（2）相互独立事件就是互斥事件．（　×

（3）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（　×

（4）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.（　×

（5）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率．（　√　）

1．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.

2．（教材改编）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（　　）

答案　A

解析　所求概率P＝C·

（）1·

（1－）3－1＝.

3．（2015·

课标全国Ⅰ）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）

A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312

解析　3次投篮投中2次的概率为

P（k＝2）＝C×

0.62×

（1－0.6），

投中3次的概率为P（k＝3）＝0.63，

所以通过测试的概率为P（k＝2）＋P（k＝3）＝C×

（1－0.6）＋0.63＝0.648.故选A.

4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．

答案　0.8

解析　已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.

5．（教材改编）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

答案　

解析　记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P（）＝P（）·

P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]＝（1－）（1－）＝，

“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所

求概率为1－P（）＝1－＝.

题型一　条件概率

例1　

（1）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（　　）

（2）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，

将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，

B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝________.

答案　

（1）B　

（2）

解析　

（1）P（A）＝＝，P（AB）＝＝，

P（B|A）＝＝.

（2）AB表示事件“豆子落在△OEH内”，

P（B|A）＝＝＝.

引申探究

1．若将本例

（1）中的事件B：

“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？

解　P（A）＝＝，

P（B）＝＝，又A⊇B，则P（AB）＝P（B）＝，

所以P（B|A）＝＝＝.

2．在本例

（2）的条件下，求P（A|B）．

解　由题意知，∠EOH＝90°

，故P（B）＝，

又∵P（AB）＝＝＝，

∴P（A|B）＝＝＝.

思维升华　条件概率的求法

（1）定义法：

先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝求P（B|A）．

（2）基本事件法：

借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件AB所包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝.

　（2016·

开封模拟）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　方法一　设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P（A）＝，P（AB）＝×

＝，则所求概率为P（B|A）＝＝＝.

方法二　第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为＝.

题型二　相互独立事件的概率

例2　设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

T（分钟）

25

30

35

40

频数（次）

20

10

（1）求T的分布列；

（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

解　

（1）由统计结果可得T的频率分布为

频率

0.2

0.3

0.4

0.1

以频率估计概率得T的分布列为

T

P

（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，

设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．

方法一　P（A）＝P（T1＋T2≤70）＝P（T1＝25，T2≤45）＋P（T1＝30，T2≤40）＋P（T1＝35，T2≤35）＋P（T1＝40，T2≤30）＝0.2×

1＋0.3×

1＋0.4×

0.9＋0.1×

0.5＝0.91.

方法二　P（）＝P（T1＋T2＞70）＝P（T1＝35，T2＝40）＋P（T1＝40，T2＝35）＋P（T1＝40，T2＝40）

＝0.4×

0.1＋0.1×

0.4＋0.1×

0.1＝0.09，

故P（A）＝1－P（）＝0.91.

思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法

（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立．

（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；

②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

　（2017·

青岛月考）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：

乘坐里程x（单位：

km）

0<

x≤6

6<

x≤12

12<

x≤22

票价（单位：

元）

3

4

5

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.

（1）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．

解　

（1）由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，

则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率

P1＝×

＋×

＝，

所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.

（2）由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10，

则P（ξ＝6）＝×

P（ξ＝7）＝×

P（ξ＝8）＝×

P（ξ＝9）＝×

P（ξ＝10）＝×

＝.

所以ξ的分布列为

ξ

6

7

8

9

题型三　独立重复试验与二项分布

命题点1　根据独立重复试验求概率

例3　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；

若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列．

解　

（1）设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝×

×

P（B）＝C2×

P（C）＝C2×

2×

（2）X的可能取值为0,1,2,3，

则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝，

P（X＝1）＝P（C）＝，

P（X＝2）＝C×

P（X＝3）＝3＋C2×

故X的分布列为

X

1

2

命题点2　根据独立重复试验求二项分布

例4　一款击鼓小游戏的规则如下：

每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；

每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

解　

（1）X可能的取值为10,20,100，－200.

根据题意，有

P（X＝10）＝C×

1×

2＝，

P（X＝20）＝C×

1＝，

P（X＝100）＝C×

3×

0＝，

P（X＝－200）＝C×

0×

3＝.

所以X的分布列为

100

－200

（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1,2,3），

则P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝.

所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为

1－P（A1A2A3）＝1－3＝1－＝.

因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.

思维升华　独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略

（1）在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

（2）在根据独立重复试