矩阵的逆完整版实用资料文档格式.docx

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这一节矩阵，如不特别声明，都是矩阵.

对于任意的级方阵都有

这里是级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数的倒数可以用等式

来刻划，相仿地，我们引入

定义7级方阵称为可逆的，如果有级方阵，使得

（1）

这里是级单位矩阵.

首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足

（1）.其次，对于任意的矩阵，适合等式

（1）的矩阵是唯一的（如果有的话）.

定义8如果矩阵适合

（1），那么就称为的逆矩阵，记为.

二、可逆矩阵的逆矩阵的求法

下面要解决的问题是：

在什么条件下矩阵是可逆的？

如果可逆，怎样求？

定义9设是矩阵

中元素的代数余子式，矩阵

称为矩阵的伴随矩阵.

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：

（2）

其中.

如果，那么由

（2）得

.（3）

定理3矩阵可逆的充要条件是非退化的，而

根据定理3容易看出，对于级方阵，如果

那么就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.

定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式（4）.按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.

由（5）可以看出，如果，那么

推论如果矩阵可逆，那么与也可逆，且

.

利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组

可以写成

.（6）

如果，那么可逆.用

代入（6），得恒等式，这就是说是一个解.

如果

是（6）的一个解，那么由

得

即

这就是说，解是唯一的.用的公式（4）代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.

定理4是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么

秩（）=秩（）=秩（）.

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第五章二次型

5.1习题

1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．

2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使是对角形式：

（i）

（ii）

（iii）

3．写出二次型的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．

4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件．

（i）A必与如下形式的一个矩阵合同：

（ii）斜对称矩阵的秩一定是偶数．

（iii）F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．

5.2复数域和实数域上的二次型

1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得

．

2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：

3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：

4．证明，一个实二次型可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：

或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．

5．令

证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得．

6．确定实二次型的秩和符号差．

7．确定实二次型的秩和符号差．

8．证明，实二次型的秩和符号差与无关．

5.3正定二次型

1．判断下列实二次型是不是正定的:

;

2．取什么值时,实二次型

是正定的.

3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数,使得是正定的.

4．证明,阶实对称矩阵是正定的,必要且只要对于任意,阶子式

5．设是一个阶正定实对称矩阵.证明

当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.

[提示:

对作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.]

6．设是任意阶实矩阵.证明

（阿达马不等式）.

当时,先证明是正定对称矩阵,再利用习题5.]

5.4　主轴问题

1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得具有对角形式:

2．设A是一个正定对称矩阵.证明:

存在一个正定对称矩阵S使得

3．设A是一个阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得．

是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得=.再看一下U应该怎样取．]

4．设是一组两两可交换的阶实对称矩阵.证明,存在一个阶正交矩阵U,使得都是对角形矩阵.