奥数四年级行程问题Word格式.docx

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t=s÷

v

（3）路程÷

时间=速度可简记为：

v=s÷

t

显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

二、平均速度

平均速度的基本关系式为：

平均速度总路程总时间；

总时间总路程平均速度；

总路程平均速度总时间。

【重点难点解析】

1.行程三要素之间的关系

2．平均速度的概念

3．注意观察运动过程中的不变量

【竞赛考点挖掘】

1.注意观察运动过程中的不变量

【习题精讲】

【例1】

（难度等级※）

邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?

【分析与解】

法一：

先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。

①邮递员到达对面山里需时间：

12÷

4+8÷

5=4.6（小时）;

②邮递员返回到邮局共用时间：

8÷

4+12÷

5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0（小时）③邮递员回到邮局时的时刻是：

7+10-12=5（时）.邮递员是下午5时回到邮局的。

法二：

从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：

（12+8）÷

4+（12+8）÷

5+1=10（小时），邮递员是下午7+10-12=5（时）回到邮局的。

．

【例2】

甲、乙两地相距100千米。

下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；

晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？

.

马车从甲地到乙地需要100÷

10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6（小时）。

依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷

4=25（千米）．

【例3】

（难度等级※※）

小明每天早晨6：

50从家出发，7：

20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6：

50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。

问：

小明家到学校多远？

（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）

【分析与解】

原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。

这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×

25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷

6=100米。

总路程就是=100×

30=3000米。

【例4】

韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？

原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：

480÷

20=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为：

40=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．

【例5】

王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

【分析与解】

假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷

60×

2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷

50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷

4=75（千米/时）的速度往回开．

【例6】

刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；

以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.

假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；

B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×

2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是

20÷

（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×

4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为

60÷

（12-7）=12（千米/时）．

【例7】

（难度等级※※※）

小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

上山用了3时50分，即60×

3+50=230（分），由230÷

（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×

5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷

2=90（分）.由90÷

30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×

2=100（分）=1时40分.

【例8】

老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；

从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；

从C到D为下山路，车速是36千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？

设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：

（x+2x）÷

（x÷

22.5+2x÷

36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷

30＝2.4（时）．

【例9】

汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。

求该车的平均速度。

想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷

总时间，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。

在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。

①把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：

1÷

72+1÷

48，平均速度=2÷

（1÷

48）=57.6千米/时。

②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？

在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72，48]=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=144×

2÷

（144÷

72+144÷

【例10】

如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?

从A到B的时间为：

6=2（小时），从B到C的时间为：

4=2（小时），从C到D的时间为：

4÷

2=2（小时），从A到D的总时间为：

2+2+2=6（小时），总路程为：

12+8+4=24（千米），那么从A到D的平均速度为：

24÷

6=4（千米/时）．

【例11】

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。

某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为米/秒、米/秒和米/秒，求他过桥的平均速度。

假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：

4+24÷

6+24÷

8=13（秒），过桥的平均速度为（米/秒）．

【例12】

汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？

假设AB两地之间的距离为480÷

2=240千米，那么总时间=480÷

48=10（小时），回来时的速度=240÷

（10-240÷

40）=60（千米/时）．

【例13】

有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度..

假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷

11+66÷

22+66÷

33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×

3÷

11=18（米/秒）

【例14】

一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？

假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷

50+200÷

20+200÷

40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×

19=（厘米/分钟）.

【例15】

甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？

全程的平均速度是每分钟（80+70）÷

2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000÷

80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟．

第二讲相遇与追及

在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！

在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.

一、相遇

甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

相遇路程=甲走的路程+乙走的路程

=甲的速度×

相遇时间+乙的速度×

相遇时间

=（甲的速度+乙的速度）×

=速度和×

相遇时间.

一般地，相遇问题的关系式为：

速度和×

相遇时间=路程和，即

二、追及

有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：

追及路程=甲走的路程-乙走的路程

追及时间-乙的速度×

追及时间

=（甲的速度-乙的速度）×

=速度差×

追及时间.

一般地，追击问