第1部分第2讲 分类讨论转化与化归思想文档格式.docx

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b<

a<

1，所以b－1<

0，b－a<

0；

当

时，b>

a>

1，所以b－1>

0，b－a>

0.所以（b－1）（b－a）>

0，故选D.

【答案】　D

[名师点评]　

（1）应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．

（2）引起分类讨论的因素有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

[变式训练]

1．已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．

[解析]当a>

1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得

无解．当0<

1时，函数f（x）＝ax＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得

解得

所以a＋b＝－

.

[答案]－

设F1，F2是椭圆

＋

＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>

|PF2|，则

的值为________．

【解析】　若∠PF2F1＝90°

，

则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，

又由题意可知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2

解得|PF1|＝

，|PF2|＝

，所以

＝

若∠F1PF2＝90°

，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，

所以|PF1|2＋（6－|PF1|）2＝20，解得|PF1|＝4或2，

又|PF1|>

|PF2|，

所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以

＝2.

综上知，

的值为

或2.

【答案】　

或2

[名师点评]　

（1）本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．

（2）涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．

2．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋

＝1的离心率是（　　）

A.

　　　　　　　B.

C.

D.

　D　[解析]因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×

8＝16，所以m＝±

4.

当m＝4时，圆锥曲线

＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝

；

当m＝－4时，圆锥曲线x2－

＝1是双曲线，其离心率e＝

综上知，选项D正确．

高考全国卷甲）已知函数f（x）＝（x＋1）lnx－a（x－1）．

（1）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

【解】　

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）．当a＝4时，

f（x）＝（x＋1）lnx－4（x－1），f′（x）＝lnx＋

－3，f′

（1）＝－2，f

（1）＝0.

曲线y＝f（x）在（1，f

（1））处的切线方程为2x＋y－2＝0.

（2）当x∈（1，＋∞）时，f（x）＞0等价于lnx－

＞0.

设g（x）＝lnx－

，则

g′（x）＝

－

，g

（1）＝0.

（ⅰ）当a≤2，x∈（1，＋∞）时，x2＋2（1－a）x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′（x）＞0，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，因此g（x）＞0；

（ⅱ）当a＞2时，令g′（x）＝0得

x1＝a－1－

，x2＝a－1＋

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈（1，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，x2）上单调递减，此时g（x）＜g

（1）＝0.

综上，a的取值范围是（－∞，2]．

[名师点评]　含有参数的问题，主要包括：

（1）含有参数的不等式的求解；

（2）含有参数的方程的求解；

（3）函数解析式中含参数的最值与单调性问题；

（4）二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理、要不重不漏、要符合最简原则．

3．已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R），求函数f（x）的极值．

[解]由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），

因为f′（x）＝1－

（x>

0），

当a≤0时，f′（x）>

0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值．

当a>

0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.

因为当x∈（0，a）时，f′（x）<

0，当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>

0，所以f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．

综上：

当a≤0时，函数f（x）无极值；

0时，f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

二　转化与化归思想[学生用书P4]

（1）熟悉化原则　

（2）简单化原则　（3）直观化原则

（4）正难则反原则,

（1）直接转化法　

（2）换元法　（3）数形结合法　（4）构造法

（5）坐标法　（6）类比法　（7）特殊化方法　（8）等价问题法

（9）加强命题法　（10）补集法

转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学思想方法

关于x的不等式x＋

－1－a2＋2a>

0对x∈（0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为________．

【解析】　设f（x）＝x＋

0），则f（x）＝x＋

≥2

＝4.因为关于x的不等式x＋

0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以a2－2a＋1<

4恒成立，解得－1<

3，所以实数a的取值范围为（－1，3）．

【答案】　（－1，3）

[名师点评]　

（1）函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．

（2）求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：

第一关是转化关，即通过分离参数法，先转化为f（a）≥g（x）（或f（a）≤g（x））对∀x∈D恒成立，再转化为f（a）≥g（x）max（或f（a）≤g（x）min）；

第二关是求最值关，即求函数g（x）在区间D上的最大值（或最小值）问题．

4．若关于x的方程9x＋（4＋a）·

3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．

[解析]设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋（4＋a）t＋4＝0有正解．

分离变量a，得a＋4＝－

因为t>

0，

所以－

≤－4，

所以a≤－8，即实数a的取值范围是（－∞，－8]．

[答案]（－∞，－8]

已知函数f（x）＝x3＋3ax－1，g（x）＝f′（x）－ax－5，其中f′（x）是f（x）的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）<

0，则实数x的取值范围为________．

【解析】　由题意，知g（x）＝3x2－ax＋3a－5，

令φ（a）＝（3－x）a＋3x2－5，－1≤a≤1.

对－1≤a≤1，恒有g（x）<

0，即φ（a）<

所以

即

解得－

<

x<

1.

故当x∈

时，对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）<

0.

[名师点评]　在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的变元（或参数），将其看作是“主元”，而把其他变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的．如本例是把关于x的函数转化为在[－1，1]内关于a的一次函数小于0恒成立的问题．

5．对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>

4x＋p－3成立的x的取值范围是________．

[解析]设f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3，

则当x＝1时，f（p）＝0.所以x≠1.

f（p）在0≤p≤4上恒为正，等价于

解得x>

3或x<

－1.

[答案]（－∞，－1）∪（3，＋∞）

课时作业[学生用书P103（独立成册）]

1．已知集合A＝{x|1≤x<

5}，C＝{x|－a<

x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围为（　　）

　　　　　　B.

D.

　C　[解析]因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－

②当C≠∅时，要使C⊆A，则

a≤－1.由①②得a≤－1.

2．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（　　）

B.4

D.4

　D　[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×

×

4＝4

当长、宽分别为4和6时，体积V＝

6＝

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝Pn－1（P是常数），则数列{an}是（　　）

A．等差数列B.等比数列

C．等差数列或等比数列D.以上都不对

　D　[解析]因为Sn＝Pn－1，

所以a1＝P－1，an＝Sn－Sn－1＝（P－1）Pn－1（n≥2）．

当P≠1且P≠0时，{an}是等比数列；

当P＝1时，{an}是等差数列；

当P＝0时，a1＝－1，an＝0（n≥2），此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．

4．已知变量x，y满足的不等式组

表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝（　　）

A．－

B.

C．0D.－

或0

　D　[解析]不等式组

表示的可行域如图（阴影部分）所示，由图可知，若要使不等式组

表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．

结合图形可知斜率k的值为0或－

5．若函数f（x）＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

B.（－∞，3]

D.[3，＋∞）

　C　[解析]f′（x）＝3x2－2tx＋3，由于f（x）在区间[1，4]上单调递减，则有f′（x）≤0在[1，4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥

在[1，4]上恒成立，因为y＝

在[1，4]上单调递增，所以t≥

，故选C.

6．若关于x的不等式4ax－1<

3x－4（a>

0，且a≠1）对于任意的x>

2恒成立，则a的取值范围为（　　）

C．[2，＋∞）D.（2，＋∞）

　B　[解析]不等式4ax－1<

3x－4等价于ax－1<

x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝

x－1，当a>

1时，在同一坐标系中作出两