高等数学下册第10章Word下载.docx
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．
切线方程为
，
点与原点的连线为
切线与
轴即直线
的交点，
2.．求曲线簇
所满足的微分方程．
由已知，两边对自变量
求导
两边再对自变量
3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为
，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．
由已知，
作业21可分离变量的微分方程
1．解微分方程
微分方程即
分离变量
两边积分
从而
2.求解初值问题：
由
3．当
时，
是比
高阶的无穷小量，函数
在任意点处的增量
+
，且
，求
，从而
4．解微分方程
5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程．
当
6．设有连接
的一段向上凸的曲线弧
对于
上任一点
，曲线弧
与直线段
所围成的面积为
，求曲线弧
的方程．
设曲线为
作业22齐次方程
令
则
微分方程
，即
，分离变量
2．求解初值问题
，两边积分
3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：
（1）
；
（2）
，则
再令
（3）
．
4．求曲线
，使它正交于圆心在
轴上且过原点的任何圆（注：
两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．
可设在
轴上且过原点的任何圆为
由已知曲线
应满足
作业23一阶线性微分方程
1．解微分方程
对照标准的一阶线性微分方程
2．解微分方程
微分方程即
3．解微分方程
观察发现，微分方程等价为
4．求解初值问题
，由
5．设曲线积分
在右半平面（
内与路径无关，其中
可导，且
由曲线积分在右半平面（
内与路径无关可知，
6．解微分方程
微分方程化为
为一阶线性微分方程
作业24全微分方程
1．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：
（1）
因为
且连续，从而该方程是全微分方程
（2）
方程即
且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个函数
的全微分，
即
从而微分方程的通解为
（3）
且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数
的全微分，可用曲线积分法求一个来。
作业25可降阶的高阶微分方程
1．求下列微分方程的通解
（4）
.
3．设第一象限内的曲线
对应于
一段的长在数值上等于曲边梯形：
的面积，其中
是任意给定的，
作业26线性微分方程解的结构
1．已知
是齐次线性方程
的一个解，求此方程的通解．
由刘维尔公式
由解的结构定理可知，方程的通解
2．若
是二阶非齐次线性微分方程
（1）的线性无关的解，试用
表达方程
（1）的通解．
由解的结构定理可知，
均为对应的二阶齐次线性微分方程的解，而且现行无关。
从而：
由解的结构定理方程
（1）的通解为
3．已知
都是二阶线性非齐次方程
的解，求此方程的通解．
易知
线性无关，从而为二阶线性齐次方程
的线性无关的特解，由解的结构定理，二阶线性非齐次方程
的通解为
作业27二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程为
从而通解为
2．求方程
满足所给初始条件
的特解．
得
因此
3．设可微函数
满足方程
作业28二阶线性非齐次微分方程
1．求下列各方程的通解
对应齐次方程特征方程为
非齐次项
，与标准式
比较得
对比特征根，推得
代入方程得
对比特征根，推得
，从而特解形式可设为
（5）
利用解的结构定理知特解形式可设为
满足初始条件
的特解．
要的特解为
3．已知二阶线性非齐次微分方程
的三个特解为
．试求方程满足初始条件
由这个三个解的线性无关性，以及解的结构理论，得通解为
及
所要特解为
4．设
，其中
连续，求
第十章《微分方程》测试题
1．填空题
（1）函数
是常系数线性微分方程
的解的充分必要条件是
（2）曲线簇
（
为任意常数）满足的一阶微分方程是
（3）已知二阶线性齐次方程的两个解
，则该方程为
（4）方程
的通解
为
（5）设
都是方程
的解，则方程的通解为
2．求下列各方程的通解
原方程化为
两边积分得
，，
（6）
方程可化为
（7）
（8）
3.设
具有二阶连续导数，且
，并且
为一全微分方程，求
从通解为
4．已知方程
有形如
的解，试求出这个解．
因而，这个解为
5．设函数
在
内具有连续导数，且满足
求
由极坐标
，得
6．设函数
在实轴上连续，
存在，且具有性质
，试求出
，由于
，故
7．设函数
）二阶可导，且
，过曲线
作该曲线的切线及
轴的垂线，上述两直线与
轴所围成的三角形面积记为
，区间
上以
为曲边的曲边梯形面积记为
，并设
恒为1．求此曲线
的方程．
解:
过曲线
作该曲线的切线为
由于
，因此
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