尚择优选指数函数典型例题详细解析文档格式.docx
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①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;
ax>
0)③换元法.如:
y=4x+6×
2x-8(1≤x≤2)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】
(基础题)指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[]
A.a<b<1<c<d
B.a<b<1<d<c
C.b<a<1<d<c
D.c<d<1<a<b
解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】
(基础题)比较大小:
(3)4.54.1________3.73.6
解(3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6
∴4.54.1>3.73.6.
说明如何比较两个幂的大小:
若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的
(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的
(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).
例题4(中档题)
9
【例5】
(中档题)作出下列函数的图像:
图像变换法
(3)y=2|x-1| (4)y=|1-3x|
解
(2)y=2x-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.
解(3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1个单位,就得y=2|x-1|的图像(如图2.6-6).
解(4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)
例6(中档题):
用函数单调性定义证明:
当a>1时,y=ax是增函数.
【解析】设x1,x2∈R且x1<x2,并令x2=x1+h(h>0,h∈R),很独特的方式
则有,
∵a>1,h>0,∴,
∴,即
故y=ax(a>1)为R上的增函数,
同理可证0<a<1时,y=ax是R上的减函数.
指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析)
二次函数为内层函数,指数函数为外层函数
例题7
中档题)
变式1求函数y=()的单调区间,并证明之.
解法一(在解答题):
在R上任取x1、x2,且x1<x2,
则==()(x2-x1)(x2+x1-2)
【()为底数,红色部分为指数】,∵x1<x2,∴x2-x1>0.
当x1、x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0.这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则>1.
∴y2>y1,函数在(-∞,1]上单调递增.
当x1、x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,即<1.
(此处点评:
上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性)
∴y2<y1,函数在[1,+∞上单调递减.
综上,函数y在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.
合作探究:
在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.
解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性):
设:
则:
对任意的,有,
又∵是减函数
∴∴在是减函数
对任意的,有
∴∴在是增函数
在该问题中先确定内层函数()和外层函数()的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
变式2已知且,讨论的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,
指数,当≥时是减函数,≤时是增函数,
而的单调性又与和两种范围有关,应分类讨论.
【解析】设
,
则当≥时,是减函数,当≤时,是增函数,
又当时,是增函数,
当时,是减函数,
所以当时,原函数在上是减函数,在上是增函数.
当时,原函数在上是增函数,在上是减函数.
【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;
;
如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域.
第二课时
例题8:
(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)
当x=0时,函数y有最大值为1.
内层指数函数u=(1/2)x为减,当u在(0,1/2】时,此时外层二次f(u)为减函数,即x在【1,正无穷大),,则复合函数为增(画草图分析法)
点评:
(1)指数函数的有界性(值域):
x2≥0;
(2)上述证明过程中,在两次求x的范围时,逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。
变式:
求(3)的值域.
解
y
且.
故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.
例题9(中档题)分式型指数函数
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的值域;
(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
解
(1)定义域是R.<
/PGN0095A.TXT/PGN>
∴函数f(x)为奇函数.
反函数法,用指数函数值域
即f(x)的值域为(-1,1).
(3)设任意取两个值x1、x2∈(-∞,+∞)且x1<x2.f(x1)-f(x2)
变式1设a是实数,
试证明对于任意a,为增函数;
证明:
设∈R,且
则
由于指数函数y=在R上是增函数,且,
所以即<
0,
又由>
0得+1>
0,+1>
所以<
0即
因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,为增函数
例题10(中档题)
抽象函数
例题10
变式1(疑难题)
第三课时
复合函数