微积分习题之无穷级数docWord下载.docx
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故应填。
7．已知，且对任意，，则在原点的幂级数展开式为。
根据幂级数的逐项积分性质，及，得
8．函数在处的幂级数展开式为。
已知，所以
。
根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为，。
10．设
其中，则。
[选择题]
11．设常数，正项级数收敛，则级数[]
（A）发散。
（B）条件收敛。
（C）绝对收敛。
（D）敛散性与的值有关。
答C
分析：
因为，且正项级数收敛，所以收敛。
又因为
所以原级数绝对收敛。
12．设，则级数[]
（A）与都收敛。
（B）与都发散。
（C）收敛，发散。
（D）发散，收敛。
因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。
因为在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。
13．设，则下列级数中肯定收敛的是[]
（A）。
（B）。
（C）。
（D）。
答D
因为，所以。
又因为，且收敛，所以收敛。
另外，取，可以说明不能选（A）及（C）；
取，，因为发散，所以发散。
14．下列命题中正确的是[]
（A）若，则。
（B）若，且收敛，则收敛。
（C）若，且收敛，则收敛。
（D）若，且与收敛，则收敛。
又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。
故收敛。
因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选（A）；
选项（B）,（C）将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。
例如取级数与可以说明（B）不对，取级数与就可以说明（C）不对。
15．下列命题中正确的是[]
（A）若与都收敛，则收敛。
（B）若收敛，则与都收敛。
（C）若正项级数发散，则。
（D）若，且发散，则发散。
答A
因为，所以当与都收敛时，收敛。
取可以排除选项（B）；
取排除选项（C）；
取级数与可以说明（D）不对。
16．若级数，都发散，则[]
（A）发散。
（B）发散。
（C）发散。
（D）发散。
取可以排除选项（A）,（B）及（D）。
因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。
故选（C）。
17．设正项级数收敛，则[]
（A）极限小于。
（B）极限小于等于。
（C）若极限存在，其值小于。
（D）若极限存在，其值小于等于。
根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。
因此选项（D）正确。
取排除选项（C）。
因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项（A），（B）不对。
18．下列命题中正确的是[]
（A）若幂级数的收敛半径为，则。
（B）若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。
（C）若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
（D）若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。
极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项（A）不对。
幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项（B）不对。
取级数可以排除选项（C）。
选项（D）可以由幂级数的逐项积分性质得到。
19．若幂级数在处条件收敛，则级数[]
（A）条件收敛。
（B）绝对收敛。
（C）发散。
（D）敛散性不能确定。
答B
根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。
因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。
20．设函数
而
其中，
则的值为[]
（B）。
（C）。
（D）。
是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。
[解答题]
21．求级数的和。
解：
所以
22．已知级数，求级数的和。
因为，所以。
又因为，
故
23．判断级数的敛散性。
因为，且
所以与在时是等价无穷小。
又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛。
另解：
已知收敛，所以由比较判敛法知级数收敛。
24．判断级数的敛散性。
记，则，且
所以根据比值判敛法，当时级数收敛，当时级数发散。
当时，因为，所以此时比值判敛法失效，但由于
，（因为数列单调递增趋于）
所以，因而当时，级数发散。
25．讨论级数，的敛散性。
所以根据比值判敛法，当时，级数绝对收敛。
当时，由于，所以级数发散。
当时，级数为，由级数的敛散性，当时级数发散，当时级数收敛。
当时，级数为，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛。
26．已知函数满足等式，且，试讨论级数
的收敛性。
由，得。
根据泰勒公式，得
所以在时与等价，且级数收敛，因此级数
绝对收敛。
本题也可先解定解问题，得到后再用泰勒公式讨论。
27．求下列幂级数的收敛域
（1），
（2），（3）。
（1）记，因为
所以收敛半径为，收敛区间为。
又因为当时，级数条件收；
当时，级数发散。
故级数的收敛域为。
（2）记,由,得收敛半径为,所以幂级数仅在处收敛。
（3）记,由,得收敛半径为,故级数
的收敛域为,。
28．求幂级数的收敛域。
此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。
所以，当,即时，级数绝对收敛；
当,即时，级数发散。
根据收敛半径的定义知级数的收敛半径为。
又，当时,,级数发散；
当时,一般项为,级数也发散。
故级数的收敛域为,。
还可以将级数变形为，再令，研究幂级数的收敛半径和收敛域，最后得到的收敛域。
29．求幂级数的收敛域。
所以，当，即时，级数绝对收敛；
当时，级数发散。
故幂级数的收敛区间为。
又当时，原级数的一般项分别是和，所以发散。
因此级数的收敛域为。
30．设为一等差数列，且，求级数的收敛域。
记的公差为，则
因此收敛半径为，又当时，级数成为，，所以发散，于是级数的收敛域为。
31．将函数展开为处的幂级数。
因为。
所以
。
32．将函数在点展开为幂级数。
，，
33．将函数在点展成幂级数,并求。
将视为,因此只需将展成即可。
因为
且
，
于是
。
由于的幂级数的系数,所以
34．求幂级数在收敛区间,内的和函数,并求数项级数的和。
利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分,得
将上式两端对上限求导,得
。
令,得
求幂级数的和函数。
令
则的定义域为，且。
任给，由逐项积分公式得，
因此，
所以，
（1）求幂级数的和函数。
任给，由逐项求导公式得，
因此，
由得，。
（2）求数项级数的和。
考虑幂级数，则其收敛域为。
若记其和函数为，则。
由于
又因为，所以
故
35．求级数的和。
由于。
对上式两边求导，得
所以，
此式两边再求导，得
在上式中令，有。
36．设时周期为的周期函数，且，写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和。
根据傅里叶系数的计算公式，得
所以的傅里叶级数为
其和函数的周期为，且
令，得
，且，
37．设级数收敛，且，证明级数绝对收敛。
证：
因为，所以数列有界，即存在，使得对任意的，有
于是，又级数收敛，由比较判敛法知收敛，故级数
38．已知且，若级数发散，证明级数收敛。
因为，所以极限存在，其值记为。
由于级数发散，根据莱布尼兹判敛法知。
所以存在，使得当时，有，故当时，。
根据比较判敛法知级数收敛。
39．设，证明对任意的常数，级数收敛。
令，得
由于当时，级数收敛，根据比较判敛法，级数收敛。
40．已知,证明
因为幂级数为，所以函数定义域是，函数定义域是。
令，则其定义域为。
根据幂级数的可导性及逐项求导公式，得
又
因此。
在上式两端令取极限，得
所以。
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