高三数学大一轮复习 44函数yAsinωx+φ的图象及应用教案 理 新人教A版Word格式.docx

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0）的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝xk（其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z）成轴对称图形．

（2）函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于点（xk,0）（其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z）成中心对称图形．

[难点正本　疑点清源]

1．作图时应注意的两点

（1）作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．

（2）对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

2．图象变换的两种方法的区别

由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>

0）（x∈R）的图象，要特别注意：

当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位，而先周期变换（伸缩变换）再平移变换，平移的量是个单位．

1．已知简谐运动f（x）＝2sin（|φ|<

）的图象经过点（0,1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________．

答案　6，

解析　由题意知1＝2sinφ，得sinφ＝，又|φ|<

，

得φ＝；

而此函数的最小正周期为T＝2π÷

＝6.

2．（xx·

浙江）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）

答案　A

解析　y＝cos2x＋1

y＝cosx＋1

y＝cos（x＋1）＋1y＝cos（x＋1）．

结合选项可知应选A.

3．（xx·

大纲全国）设函数f（x）＝cosωx（ω>

0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3C．6D．9

答案　C

解析　由题意可知，nT＝（n∈N*），

∴n·

＝（n∈N*），

∴ω＝6n（n∈N*），∴当n＝1时，ω取得最小值6.

4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数

解析式为（　　）

A．y＝sinB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

答案　D

解析　将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象；

再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．

5.已知简谐运动f（x）＝Asin（ωx＋φ）（|φ|<

）的部分图象如图所示，则该简谐

运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）

A．T＝6π，φ＝B．T＝6π，φ＝

C．T＝6，φ＝D．T＝6，φ＝

解析　由图象易知A＝2，T＝6，∴ω＝，

又图象过（1,2）点，∴sin＝1，

∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<

，∴φ＝.

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换

例1　已知函数y＝2sin，

（1）求它的振幅、周期、初相；

（2）用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

（3）说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．

思维启迪：

（1）由振幅、周期、初相的定义即可解决．

（2）五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．

（3）只要看清由谁变换得到谁即可．

解　

（1）y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，

初相φ＝.

（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.

列表，并描点画出图象：

－

X

y＝sinX

1

－1

y＝2sin

2

－2

（3）方法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图象．

方法二　将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；

再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；

再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．

探究提高　

（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；

（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．

　已知函数f（x）＝3sin，x∈R.

（1）画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f（x）的图象？

解　

（1）列表取值：

x－

f（x）

3

－3

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

（2）先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f（x）的图象．

题型二　求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式

例2　

（1）（xx·

江苏）已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A>

0）的部分图象如图所示，则f（0）的值是______．

（2）（xx·

辽宁）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）（ω>

0，|φ|<

），y＝f（x）的部分图象如图所示，则f（）等于（　　）

A．2＋B.

C.D．2－

（1）由平衡点和相邻最低点间的相对位置确定周期；

根据待定系数法求φ.

（2）将“ωx＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．

答案　

（1）　

（2）B

解析　

（1）由题图知A＝，＝－＝，

∴T＝π，ω＝＝2.

∴2×

＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，∴φ＝2kπ＋（k∈Z）．

令k＝0，得φ＝.

∴函数解析式为f（x）＝sin，

∴f（0）＝sin＝.

（2）由图形知，T＝＝2（π－）＝，∴ω＝2.

由2×

π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－π，k∈Z.

又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan（2×

0＋）＝1，

知A＝1，∴f（x）＝tan（2x＋），

∴f（）＝tan（2×

＋）＝tan＝.

探究提高　根据y＝Asin（ωx＋φ）＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：

①A的确定：

根据图象的最高点和最低点，即A＝；

②k的确定：

根据图象的最高点和最低点，即k＝；

③ω的确定：

结合图象，先求出周期T，然后由T＝（ω>

0）来确定ω；

④φ的确定：

由函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k最开始与x轴的交点（最靠近原点）的横坐标为－（即令ωx＋φ＝0，x＝－）确定φ.

已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>

，ω>

0）的图象

的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．

答案　f（x）＝2sin

解析　观察图象可知：

A＝2且点（0,1）在图象上，

∴1＝2sin（ω·

0＋φ），即sinφ＝.∵|φ|<

，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f（x）＝2sin.

题型三　三角函数模型的应用

例3　如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地

面的距离为0.8米，且每60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以

OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.

（1）求h与θ间的函数关系式；

（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求该缆车首次到达最高点时所用的时间．

解　

（1）过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于

点M（如图），

当θ>

时，∠BOM＝θ－，

h＝OA＋BM＋0.8

＝5.6＋4.8sin.

当0≤θ≤时，上式也成立．

∴h与θ间的函数关系式为h＝5.6＋4.8sin.

（2）点A在圆上转动的角速度是弧度/秒，

∴t秒转过的弧度数为t，

∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞）．

首次到达最高点时，h＝10.4米，

即sin＝1，t－＝，

即t＝30秒时，该缆车首次到达最高点．

探究提高　本题属三角函数模型的应用，通常的解决方法：

转化为y＝sinx，y＝cosx等函数解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法；

用三角函数模型解决实际问题主要有两种：

一种是用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，充分体现了新课标中“数学建模”的本质．

如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近

似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，φ∈（0，π）．

（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

解　

（1）最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．

（2）观察图象，可知从8～14时的图象是y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图象．

∴A＝×

（50－30）＝10，b＝×

（50＋30）＝40.

∴＝14－8＝·

，∴ω＝，

∴y＝10sin＋40.

将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，

∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．

利用三角函数的性质求解析式

典例：

（12分）如图为y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段．

（1）求其解析式；

（2）若将y＝Asin（ωx＋φ）的图象向左平移个单位长度后得y＝f（x），求f（x）的对称轴方程．

审题视角　

（1）图象是y＝Asin（ωx＋φ）的图象．

（2）根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；

可以看作第二个零点．

规范解答

解　

（1）由图象知A＝，

以M为第一个零点，N为第二个零点．[2分]

列方程组　解之得[4分]

∴所求解析式为y＝sin.[6分]

（2）f（x）＝sin

＝sin，[8分]

令2x－＝＋kπ（k∈Z），则x＝π＋（k∈Z），[10分]

∴f（x）的对称轴方程为x＝π＋（k∈Z）．[12分]

答题模板

第一步：

根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．

第二步：

将“ωx＋φ