第五章线性参数的最小二乘处理Word文档格式.docx
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10
17.806
22.103
24.633
28.986
34.417
154.87
192.64
214.57
252.09
299.84
求未知参量x，y，z的最可依赖值。
5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：
x=0
y=0
z=0
x-y=0.92,
-y+x=1.35
-x+z=1.00
试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。
5-3由等精度测定方程为：
x+37y+1369z=36.3
x+32y+1024z=41.4
x+27y+729z=47.5
x+2y+484z=54.7
x+17y+289z=63.2
x+12y+144z=72.9
x+7y+49z=83.7
试用矩阵最小二乘法求x，y，z的最可依赖值及其精度。
5-4交流电路的电抗x=ωL，
在角频率ω1=3时，测得x为x1=0.8
ω2=2时，测得x为x2=0.2
ω3=1时，测得x为x3=-0.3
试求：
（i）L，C及其方差；
（ii）ω=3时（=0.1）电抗值及其方差。
5-5试求下列方程给出的x，y的最大或然值及其标准误差。
2x+y=5.1
x-y=1.1
4x-y=7.4
x+4y=5.9
5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。
试求AB，BC，CD，DE的最大或然值。
5-7由方程组
3x+y=2.9
x-2y=0.9
2x-3y=1.9
试求x，y的最大或然值及其标准误差。
5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x1，x2的最可信赖值及其标准误差。
x1=0权：
P1=8
x2=0P2=10
x1+2x2=0.25P3=1
x1-3x2=0.92P4=5
5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x，y的最大或然值及其标准误差。
x-3y=-5.6权：
P1=1
4x+y=8.1P2=2
2x-y=0.5P3=3
5-10由下面的测定方程组，试求x，y的最可依赖值及其标准误差。
2x+y=5.1权：
P1=1
x-y=1.1P2=3
4x-y=7.2P3=2
5-11试求满足下列方程的x，y，z及其标准误差（假设它们是等权的）。
x+y+z=4.01
2x-y+z=1.04
x+3y-2z=5.02
3x+y=4.97
5-12由座标点（1，0）（3，1）和（-1，2）到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。
试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。
5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。
试求该角度的最可信赖及其标准误差。
第一测回
第二测回
pi
ai
34°
56′
34º
55′40″
54′
55′30″
55′20″
55′0″
55′
55′70″
55′10″
55′50″
5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º
5′10″，B=60º
25′24″，C=70º
42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；
（ii）各次权分别为1、2、3；
试求A、B、C的最大或然值。
5-15数N系时间t的函数
N=x1+x2t+x3t2
测定后的N的值如下。
测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。
ti
1.5
1.1
0.7
0.3
-0.1
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Ni
6.20
3.45
2.00
1.80
2.40
4.55
8.85
15.70
24.40
Pi
0.707
0.500
5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，测定为
温度
0°
4°
10°
15°
21°
29°
36°
51°
68°
溶解度
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.4
113.6
125.1
上述关系可用直线67.5+0.87t表示（式中t为温度）。
试用最小二乘法来检证。
5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。
X+Y=37.0权：
P1=5
2X+Y=61.9P2=4
3X+Y=86.7P3=4
X+2Y=49.2P4=4
X+3Y=60.6P5=3
2X+3Y=86.7P6=2
3X+2Y=98.4P7=3
5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。
2X+4Y+8Z=0.1612
2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986
3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098
2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896
3X+9Y+27Z=0.4181
5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。
现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：
（i）每一个量规各与标准量规比较二次；
（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；
（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；
上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：
（1）
（2）
（3）
Y1—N=X1
Y1—N=X2
Y2—N=X2
Y2—N=X3
Y2—Y1=X3
Y3—N=X3
Y2—N=X4
Y2—Y1=X4
Y3—N=X5
Y3—Y2=X5
Y3—Y1=X5
Y3—N=X6
Y3—Y2=X6
试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。
（提示：
可以比较不同测量方案下未知数的权）。
典型题解
5-1由测量方程
试求、的最小二乘法处理及其相应精度。
解：
方法一：
列出误差方程组：
分别对求偏导，并令它们的结果为0，
即，
由上式可解得结果：
方法二：
直接列表计算给出正规方程常数项和系数
2.9
8.7
-2
0.9
-1.8
-3
-6
1.9
3.8
-5.7
---
14
-5
13.4
-4.6
可得正规方程
将的结果代入分别求得：
得，
由题已知，得
由不定乘数的方程组
得
方法二：
按矩阵形式计算，由误差方程
上式可以表示为
即
；
；
可得
式中
所以
即解得，
将最佳估计值代入误差方程可得，
将计算得到的数据代入式中
为求出估计量的标准差，首先求出不定常数。
由已知，不定常数的系数与正规方程的系数相同，因而是矩阵中各元素，即
则
可得估计量的标准差为
5-2已知误差方程为
试给出的最小二乘法处理及其相应精度。
解:
根据矩阵形式，误差方程可以表示为
得
即解得
将最佳估计值代入误差方程可得
为求出估计量的标准差，首先求出不定乘数，不定乘数的系数
与正规方程的系数相同，因而是矩阵中各元素，即
于是估计量的标准差，
5-3测力计示值与测量时的温度的对应值独立测得如下表所示。
/
15
18
21
24
27
30
43.61
43.63
43.68
43.71
43.74
43.78
设无误差，值随的变化呈线性关系，试给出线性方程中系数和的最小二乘估计及其相应精度。
列出误差方程式，
令为待估计量，则误差方程可写成为
为计算方便，将数据列表如下：
225
654.15
324
785.34
441
917.28
576
1049.04
729
1180.98
900
1313.4
135
3195
262.15
5900.19
根据误差方程，列出正规方程：
将表中计算出的相应系数值代入上面的正规方程得
解得
将代入误差方程得：
将代入上式，可得残余误差为：
N
可得：
可得标准差为，
由上面所给的正规方程的系数，可列出求解不定乘数的方程组
分别解得
估计量的标准差为
直接利用矩阵求解，误差方程可写成
所以
将最佳估计值代入误差方程得
可计算
为求出估计量的标准差,需要求出不定乘数的系数，而不定乘数的系数与正规方程的系数相同，因而是矩阵中各元素，即
5-4研究米尺基准器的线膨胀系数，得出在不同温度时该基准器的长度修正值可用公式表示。
式中为时米尺基准器的修正值（单位为）：
和为温度系数；
为温度。
在不同温度时米尺基准器的修正值如下表所示：
91.49
试求的最小二乘法处理及其相应精度。
利用矩阵形式误差方程可以表示为
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