届高考数学理一轮复习 课件+练习第八章 平面解析几何85Word文件下载.docx

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解析　如右图所示，PF1的中点为M，O为中点⇒OM綊PF2，∠PF1F2＝30°

.设|F1F2|＝2c，|PF1|＝，|PF2|＝，e＝＝＝＝.故选D.

3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2＝30°

，则△F1PF2的面积为（　　）

A.B．4（2－）

C．16（2＋）D．16

解析　由题意知c＝1；

|PF1|＋|PF2|＝2，|F1F2|＝2，在△F1PF2中有：

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|cos30°

＝|F1F2|2，

∴（|PF1|＋|PF2|）2－（2＋）|PF1|·

|PF2|＝4，

∴|PF1|·

|PF2|＝16（2－），

△F1PF2的面积为S＝|PF1|·

|PF2|sin30°

＝4（2－）．故选B.

4．[2016·

广东四校联考]已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，（m>

0），则此椭圆的离心率为（　　）

解析　由题意得椭圆的标准方程为＋＝1，

∴a2＝，b2＝

∴c2＝a2－b2＝，e2＝＝，e＝.

5．过点A（3，－2）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

答案　A

解析　由题意可得c2＝9－4＝5，

又已知椭圆的焦点在x轴，故所求椭圆方程可设为＋＝1（λ>

0），代入点A的坐标得＋＝1解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求的椭圆方程为＋＝1.

6．[2016·

广安月考]若点O和点F分别是椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·

的最大值为（　　）

A．2B．3

C．6D．8

答案　C

解析　由椭圆＋＝1可得点F（－1,0），点O（0,0），

设P（x，y），－2≤x≤2，则·

＝（x，y）·

（x＋1，y）＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝（x＋2）2＋2，当且仅当x＝2时，·

取得最大值6.

7．[2015·

长春调研]已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，则△F1AB的周长为________．

答案　8

解析　由已知得△F1AB的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.

8．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值是________．

答案　k>

或0<

k<

3

解析　当4>

k时，e＝＝∈，即<

<

1⇔1<

4－k<

4，即0<

3.

当4<

k时，e＝＝∈

即<

1⇒<

1－<

1⇒>

>

0⇒k>

.

9．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．

答案　

解析　如图所示，以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的坐标系．

设椭圆方程为＋＝1（a>

0）

∵D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝，

∴CD＝1，DB＝1，

∴C（1,1）．

∵2a＝4，

∴a＝2，

把C（1,1）代入椭圆的标准方程得＋＝1，

∴＝1－＝，

∴b2＝，c2＝，

∴c＝，∴2c＝.

10．[2014·

课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：

0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

解　

（1）根据c＝及题设知M，若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2＝＝＝，得2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，－2（舍去）．

故C的离心率为.

（2）由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0,2）是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.

设N（x1，y1），由题意知y1<

0，则

即

代入C的方程，得＋＝1.②

将①及c＝代入②得＋＝1，

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.

[B组·

能力提升练]

1．[2015·

海淀期末]椭圆C：

0）的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）

C.D.∪

解析　当点P位于椭圆的两个短轴端点时，△F1F2P为等腰三角形，此时有2个．

若点P不在短轴的端点时，要使△F1F2P为等腰三角形，则有PF1＝F1F2＝2c或PF2＝F1F2＝2c.不妨设PF1＝F1F2＝2c.此时PF2＝2a－2c.所以有PF1＋F1F2>

PF2，即2c＋2c>

2a－2c，所以3c>

a，即>

，又当点P不在短轴上，所以PF1≠BF1，即2c≠a，所以≠.所以椭圆的离心率满足<

e<

1且e≠，所以选D.

海淀期末]已知椭圆C：

＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·

解析　设向量，的夹角为θ.由条件知|AF2|＝＝，则·

＝||cosθ，于是·

要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以·

＝cosθ≤，故选B.

3．[2016·

大连双基]在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－4,0）和C（4,0），顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为________．

解析　＝＝＝＝.

4．[2015·

课标全国卷Ⅰ]一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

答案　2＋y2＝

解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点（4,0），（0,2），（0，－2），设圆心为（a,0），其中a>

0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.

5．[2015·

陕西高考]已知椭圆E：

0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c,0），（0，b）的直线的距离为c.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）如图，AB是圆M：

（x＋2）2＋（y－1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．

解　

（1）过点（c,0），（0，b）的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，

由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.

（2）解法一：

由

（1）知，椭圆E的方程为

x2＋4y2＝4b2.①

依题意，圆心M（－2,1）是线段AB的中点，且|AB|＝.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k（x＋2）＋1，代入①得

（1＋4k2）x2＋8k（2k＋1）x＋4（2k＋1）2－4b2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，

x1x2＝.

由x1＋x2＝－4，得－＝－4，

解得k＝.从而x1x2＝8－2b2.

于是|AB|＝|x1－x2|

＝＝.

由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.

故椭圆E的方程为＋＝1.

解法二：

x2＋4y2＝4b2.②

依题意，点A，B关于圆心M（－2,1）对称，且|AB|＝.设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x＋4y＝4b2,x＋4y＝4b2，

两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，

得－4（x1－x2）＋8（y1－y2）＝0.

易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，

所以AB的斜率kAB＝＝.

因此直线AB的方程为y＝（x＋2）＋1，代入②得

x2＋4x＋8－2b2＝0.

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.

于是|AB|＝|x1－x2|＝

＝.