实变函数复习资料带答案docWord文件下载.docx
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1、（CsAuCv5）n（A-（A-B））=
2、设£
是［0，1］上有理点全体，则
E-,E-,E-.
3、设£
是/?
。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£
是£
可测的
4、/⑶可测的条件是它可以表成一列简单函数的极
限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设/（x）为上的有限函数，如果对于的一切分划，
使，则称/（x）为
［6Z，/7］上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立，则证明之;
若不成立，则举反例说明.（5分X4=20分）1、设Ec/?
1,若万是稠密集，则C£
是无处稠密集。
2、若mE=O,则£
一定是可数集.
3、若|/（x）|是可测函数，则/（x）必是可测函数
4、设7Xx）在可测集£
上可积分，若\/^£
，/0）〉0，贝^
四、解答题（8分X2=16分）.
了，则/（x）在［0，1］上是否/?
-
U，x为南理数
可积，是否L-可积，若可积，求出积分值。
ln（x+n）
2、（6分）设/（X）是（-oo，+oo；
）上的实值连续函数，则对于任意
一、1.C2D3.B4.A5.D
二、1.02、[0,1]；
0；
[0,1]3,
mT-m（Tn£
）+m'
（TnCE）
4、充要5、ip，⑷-，（么叫成一有界数集。
三、1.错误2分例如：
设£
是［0，1］上有理点全体，则£
和（?
£
都在丨0，1］中稠密5分
2.错误2分例如：
是0/*厂集，则m£
=0,但£
=（:
故
其为不可数集5分
3.错误例如：
是卜，^上的不可测集，
则l/W|是h，/7］上的可测函数，但/（X）不是［以］上的可测函数…
4.错误m£
=0时，对E上任意的实函数/⑺都有］7（%咏=0
E
四、1./⑴在［0，1］上不是/?
-可积的，因为/Cr）仅在x=l处
常数61，£
={%|/（；
1）^}是闭集。
3、（6分）在上的任一有界变差函数/（幻都可以表示为两个增函数之差。
/•U）二
X,XE£
;
-x,xe[a,b]-E;
4、（6分）设772£
<
00，/（幻在£
上可积,A=£
（1/1^7），贝IJlimz?
-men=0.
n
fc5、（10分）设/（幻是£
上^.有限的函数，若对任意5〉0，
存在闭子集^c£
使/（x）在^上连续，且
证明：
/（幻是£
上的可测函数。
（兽津定理的逆定理
题瞥（参考答案及评分标准）
连续，即不连续点为正测度集……..3分因为/（x）是有界可测
函数，/（x）在［0，1］上是L-可积的."
6分
因为/（x）与x2“.e.相等，进一步，J*Q1/（x）tZr==丄...8分
2.解：
设人⑺=lnCY+/?
）fcow,则易知当，74oo时，n
又⑺七02分
ln（A+n）"
+%ln（X+n）<
^^<
^（l+x）……4分3.
x+nIn3
从而使得I人（那〒（1+x）e~x
但是不等式右边的函数，在f0，+oo；
）上是L可积的，故有
lim£
fn{x）dx=£
lim/n（^x）dx=08分
五、1.设£
=[0，1],Zl=£
n2，S=£
\（£
n2）.
•.•S是无限集,.可数子集A/cS2分
...欠是可数集，•••欠uA/口M..3
分
vB=Mu（B\A/）,£
=AuB=AuA/u（B\M）,
•••£
*]B，:
.B=c.6分
2.Vxg£
'
，则存在肿的互异点列UJ，使limx„=x.2
•••x，£
，•••f（xn）>
a3分
•••/（x）在x点连续，人/（%）=limf（xn）>
a
Z?
—>
oo
•••xeE5分
•••£
是闭集..6分
对r=l,3J>
0,使对任意互不相交的有限个
（6Zp/7,.）C（6Z，/?
）
当X汝-w时,有11，⑻/-，⑷I<
12分
/=1/=1
将等分，使对'
•=1
/=1
/（x）在上是有界变差函数5分
Xib
所以!
/（/）《1，从而因此，/⑴是[6/,糾上的有界
•力-1〃
变差函数..6分
4、/（幻在£
上可积
=>
limm£
（|/|>
/7）=m£
（|/1=+oo）=0……2分
据积分的绝对连续性，\/£
>
^3S>
^\/eczEjne<
S,W^\f{x）\dx<
•4分
对上述〉0,彐々，Vm〉k,mE（\f\>
n）<
S,从而
n.men<
[|/（x）\dx<
HPlimn.men=0
5.W，存在闭集7；
c£
，m（£
-尺）<
去，，⑺在连
令=，则\/妊/^3々，xen/；
，VdxeFn=>
f（x）
k=[n=k
又对任意）t,m（E-F）<
m[E-（nFn）]=m[<
j（E-Fn）]
n=k
X^（£
-FJ<
-r
故m（E—F）=0,f（x）在Fc£
连续•.8分又m（£
-F）=0,所以/（x）是£
-F上的可测函数，从而是£
上
的
可测函数
••10分
《实变函数》试卷二
1.单项选择题（3分X5=15分）
1.设A/，7V是两集合，则（）
（A）M（B）N（0MoN⑼0
2.下列说法不正确的是（）
（A）的任一领域内都有£
中无穷多个点，则忍是£
的聚点
（B）戽的任一领域内至少冇一个£
中异于戽的点，则戽是£
的聚点
（C）存在£
中点列｛G｝，使尺4尺，则6是£
（D）内点必是聚点
3.下列断言（）是正确的。
（A）任意个开集的交是开集；
（B）任意个闭集的交是
闭集；
（O任意个闭集的并是闭集；
（D）以上都不对；
4.下列断言中（）是错误的。
（A）零测集是可测集；
（B）可数个零测集的并是
零测集；
（C）任意个零测集的并是零测集；
（D）零测集的任意子集是可测集；
5.
）是正确
若/（%）是可测函数，则下列断言（
（A）/（%）在［“，/?
］L-可积<
|/Cx）|在［“，/?
］£
-可积；
（B）/（%）在［«
，/?
］/?
-可釈/（%）|在［^，/?
-可积⑹/O）在［“，/?
-可积e>
|/00|在［（/，/?
（D）/（x）在（6Z，+oo）/?
-广义可积=>
/（x）在（a,+oo）L-可积
1、设久=［丄，2-丄］，打=1,2广.，则UnM,,=。
nn
2、设尸为Cantor集，则7=，mP=,P=。
3、设⑻是一列可测集，则mfCs,.］
v=17z=i
4、鲁津定理：
5、设F（x）为上的有限函数，如果则
称F（x）为上的绝对连续函数。
3.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;
若不成立,则说明原因或举出反例.（5分X4=20分）
1、由于［0,1］-（0,1）={0,1}，故不存在使（0,1）和［0,1］之间1-1对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
3、6^.收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是奋界变差函数。
四•解答题（8分X2=16分）
设瓜）’贝1W）在M上是否/?
-可积
是否L-可积，若可积，求出积分值。
2、求极限
sin3nxdx.
五•证明题（6分X3+8x2=34分）
1.（6分）1、设f（X）是（-oo，+oo）上的实值连续函数，则对任意
常数c，E={x\/（x）>
c}是一开集.
2.（6分）设£
〉0,3开集G=）£
，使m\G-£
）<
r,则E是可测集。
3.（6分）在上的任一有界变差函数./‘（X）都可以表示为两个増函数之差。
4.（8分）设函数列/Jx）（”=1，2,…）在有界集£
上“基本上”一致收敛于/（x），证明：
/»
.e.收敛于/（x）。
5.（8分）设/（幻在£
=[6/，/?
]上可积，则对任何£
〉0,必存在F上的连续函数p（x），使/（%）-（p（x）\dx<
e.
（答案及评分标准）一、1,C2，C3,B4,C5,
A
二、1，（0,2）2,c；
03,<
4,设/（又）是£
上tzr.有限的可测函数，则对任意5〉0,存在闭子集么（=£
使得/U）在^上是连续函数，Km（£
\£
J<
^o
5,对任意£
〉0,35〉0,使对中互不相交的任意有限个
/I
开区间=1，2,只要就冇'
/=!
三、1.错误记（0,1）中有理数全体
识（0）=ZJpf,识
（1）=厂2
R={rrr^-}\
吹）=h，《=1，2"
.
（p（x）=x,x为［0，1］中无理数，
显然减［0,1倒（0,1）上的1-1映射。
5分
OOoo
2.正确…设E,.为零测度集，，所以，/=1'
=1
‘（0^）=0因此，0乓是零测度集。
'
3.错误。
例如:
取£
=（0，+oo），作函数列:
Jl，xe（O，zzJ
fn\X）=<
77=1，2,…
lO,XG（Z2，+oo）
显然f人x）->
1，当xe£
o但当0<
<
7<
1时
[|/w-l|＞cr]=（n,+oo）
且m（n，+oo）=+oo这说明人（x）不测度收敛到1.5分
4•错误……2分例如：
/（x）〕-^cos—,0＜x＜l,显然是[0,g的0，x=0.
连续函数。
如果对[0，1]取分划7\0＜丄＜^^＜...＜丄＜丄＜1，则容易证2n2n-\32
明-从而得到V（/）=oo*"
5分
/=1/=!
1°
四、1./（X）在丨0，1]上不是/?
-可积的，因为/⑴仅在x=l处
连续，即不连续点为正测度集3分
因为/（x）是有界可测函数，所以/（x）在0，上是L-可积的
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