实变函数复习资料带答案docWord文件下载.docx

1、1、 （CsAuCv5）n（A-（A-B）= 2、 设是0，1上有理点全体，则E - , E- , E- .3、 设是/?。中点集，如果对任一点集r都 ,贝1J称是可测的4、 /可测的 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、 设/（x）为上的有限函数，如果对于的一切分划，使 ，则称/（x）为6Z，/7上的有界变差函数。三、 下列命题是否成立?若成立，则证明之;若不成立，则举反 例说明.（5分X4=20分）1、设Ec/?1,若万是稠密集，则C 是无处稠密集。2、 若mE = O,则一定是可数集.3、 若|/（x）|是可测函数，则/（x）必是可测函数4、 设

2、7Xx）在可测集上可积分，若/，/0）0，贝四、解答题（8分X2=16分）.了，则/（x）在0，1上是否/?-U，x为南理数可积，是否L-可积，若可积，求出积分值。 ln（x + n）2、（6分）设/（X）是（-oo，+oo；）上的实值连续函数，则对于任意一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、 1. 0 2、0,1； 0 ； 0,1 3,m T - m （T n） + m （T n CE）4、充要5、ip，-，（么叫成一有界数集。三、1.错误2分例如：设是0，1上有理点全体，则和（? 都在丨0，1中稠密5分2. 错误2分例如：是0/*厂集，则m = 0,但 =（:,故其为不可

3、数集 5分3. 错误例如：是卜，上的不可测集，则l/W|是h，/7上的可测函数，但/（X）不是以上的可测函 数4.错误m = 0时，对E上任意的实函数/都有7（%咏=0E四、1. /在0，1上不是/?-可积的，因为/Cr）仅在x = l处常数 61， = %|/（；1）是闭集。3、 （6分）在上的任一有界变差函数/（幻都可以表示为 两个增函数之差。/U）二X,XE ;-x,xe a,b- E;4、 （6 分）设77200，/（幻在上可积,A = （1/17），贝IJ limz?- men = 0.nfc 5、（10分）设/（幻是上.有限的函数，若对任意50，存在闭子集 c,使/（x）在上连续，

4、且证明：/（幻是上的可测函数。（兽津定理的逆定理题 瞥（参考答案及评分标准）连续，即不连续点为正测度集.3分因为/（x）是有界可测函数，/（x）在0，1上是L-可积的.6分因为/（x）与 x2 “.e.相等，进一步，J*Q1 /（x）tZr = =丄.8 分2. 解：设人=lnCY + /?）f cow,则易知当，74oo时， n又七0 2分ln（A + n） + %ln（X + n）a 3 分 /（x）在x点连续，人 /（%） = lim f（xn）aZ?oo xe E 5 分 是闭集. .6分对r = l, 3J0,使对任意互不相交的有限个（6Zp/7,.）C（6Z，/?）当X汝-w时,有

5、11，/ -，I limm（|/|/7）= m（| /1= +oo） = 0 2 分据积分的绝对连续性，/3S/eczEjneS, W fx）dxn）S,从而n.men | /（x）dx , HP limn.men =0 5. W，存在闭集7； c ，m （ -尺） f（x）k= n=k又对任意）t, m（E-F）mE-（nFn） = mj（E-Fn）n=kX（-FJ-r故 m（E F） = 0, f（x）在 F c 连续 . 8 分 又m（ - F） = 0,所以/（x）是 - F上的可测函数，从而是上的可测函数 10 分实变函数试卷二1. 单项选择题（3分X5=15分）1. 设A/，7V是

6、两集合，则（ ）（A） M （B） N （0 MoN 02. 下列说法不正确的是（ ）（A） 的任一领域内都有中无穷多个点，则忍是的聚点（B） 戽的任一领域内至少冇一个中异于戽的点，则戽是 的聚点（C） 存在中点列G，使尺4尺，则6是（D） 内点必是聚点3. 下列断言（）是正确的。（A）任意个开集的交是开集；（B）任意个闭集的交是闭集；（O任意个闭集的并是闭集；（D）以上都不对；4. 下列断言中（）是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是 可测集；5. ）是正确若/（%）是可测函数，则下列断言（A） /（%）在“

7、，/? L-可积 | /00|在（/，/?（D） /（x）在（6Z，+oo）/?-广义可积= /（x）在（a, +oo）L-可积1、 设久=丄，2-丄，打=1,2广.，则UnM, = 。n n2、 设尸为Cantor集，则 7 = ，mP = , P= 。3、 设是一列可测集，则mfCs,. v=1 7 z=i4、鲁津定理：5、设F（x）为上的有限函数，如果 则称F（x）为上的绝对连续函数。3. 下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明 原因或举出反例.（5分X4=20分）1、 由于0,1 - （0,1） = 0,1，故不存在使（0,1）和0,1之间1 -1对 应的映射。2、 可数

8、个零测度集之和集仍为零测度集。3、 6.收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是奋界变差函数。四解答题（8分X 2=16分）设瓜）贝1W）在M上是否/?-可积是否L-可积，若可积，求出积分值。2、求极限sin3 nxdx.五证明题（6分X 3+ 8x2 =34分）1. （6分）1、设f（X）是（-oo，+oo）上的实值连续函数，则对任意常数 c，E = x /（x） c是一开集.2. （6分）设0,3开集G=），使mG-）r,则E是可测 集。3. （6分）在上的任一有界变差函数./（X）都可以表示为 两个増函数之差。4. （8分）设函数列/Jx） （” = 1，2,）在有界集上“基本上”

9、一致收敛于/（x），证明：/.e.收敛于/（x）。5. （8分）设/（幻在 = 6/，/?上可积，则对任何0,必存 在F上的连续函数p（x），使/（%）-（p（x）dxe.（答案及评分标准）一、1, C 2，C 3, B 4, C 5,A二、 1，（0,2） 2, c ； 0 3, 4,设/（又）是上tzr.有限的可测函数，则对任意50,存在闭子集么（=, 使得/U）在上是连续函数，Km（Jo5, 对任意0,350,使对中互不相交的任意有限个/I开区间= 1，2,只要就冇 /=!三、 1.错误记（0,1）中有理数全体识（0） = ZJ p f ,识（1）=厂2R = rrr-吹）= h， =

10、1，2.（p（x） = x, x为0，1 中无理数，显然减0,1倒（0,1）上的1-1映射。 5分OO oo2. 正确设E,.为零测度集，所以， /=1 =1（0） = 0因此，0乓是零测度集。 3. 错误。例如:取 = （0，+oo），作函数列:Jl，xe（O，zzJfnX）= 1，当xe o但当0 7 1时|/w-l|cr = （n,+oo）且m（n，+oo） = +oo这说明人（x）不测度收敛到1. 5分4错误2分例如：/（x）-cos,0xl,显然是0,g的 0，x = 0.连续函数。如果对0，1取分划70丄.丄丄1，则容易证 2n 2n- 3 2明 - 从而得到 V（/） = oo *5 分/=1 /=! 1 四、1. /（X）在丨0，1上不是/?-可积的，因为/仅在x = l处连续，即不连续点为正测度集 3分因为/（x）是有界可测函数，所以/（x）在0，上是L -可积 的