高中数学选修12第三章章末检测BWord格式.docx

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A．1＋＋＋…＋<

（n≥2）

B．1＋＋＋…＋<

C．1＋＋＋…＋<

D．1＋＋＋…＋<

5．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：

①ab＝ba；

②（ab）c＝a（bc）；

③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；

④若ab＝0，则a＝0或b＝0.

对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：

①a·

b＝b·

a；

②（a·

b）c＝a（b·

c）；

③若a·

c，b≠0，则a＝c；

④若a·

b＝0，则a＝0或b＝0.

其中结论正确的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝（n∈N*），则a2010等于（　　）

A．0B．－C.D.

7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面（　　）

A．各正三角形内任一点

B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心

D．各正三角形外的某点

8．已知1＋2×

3＋3×

32＋4×

33＋…＋n×

3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，那么（　　）

A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a，b，c

9．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（　　）

①2006能被2整除；

②一切偶数都能被2整除；

③2006是偶数．

A．①②③B．②①③

C．②③①D．③②①

10．有以下结论：

①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②已知a，b∈R，|a|＋|b|<

1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.

下列说法中正确的是（　　）

A．①与②的假设都错误

B．①与②的假设都正确

C．①的假设正确；

②的假设错误

D．①的假设错误；

②的假设正确

11．定义A*B、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，

那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是（　　）

A．

（1），

（2）B．

（2），（3）

C．

（2），（4）D．

（1），（4）

12．已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>

0，a＋c>

0，b＋c>

0，则f（a）＋f（b）＋f（c）的值（　　）

A．一定大于零B．一定等于零

C．一定小于零D．正负都有可能

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝（＋）．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：

________________________________.

14．对于“求证函数f（x）＝－x3在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：

大前提是“对于定义域为D的函数f（x），若对任意x1，x2∈D且x2－x1>

0，有f（x2）－f（x1）<

0，则函数f（x）在D上是减函数”，小前提是“__________________________”，结论是“f（x）＝－x3在R上是减函数”．

15.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示），则三角形数的一般表达式f（n）＝__________.

16．下面的四个不等式：

①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；

②a（1－a）≤；

③＋≥2；

④（a2＋b2）·

（c2＋d2）≥（ac＋bd）2.

其中不成立的有________个．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）设f（x）＝x2＋ax＋b，

求证：

|f

（1）|，|f

（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于.

18．（12分）已知函数f（x）＝lg，x∈.若x1，x2∈且x1≠x2，求证：

[f（x1）＋f（x2）]>

f.

19.（12分）已知a>

0，b>

0，a＋b＝1，

＋≤2.

20．（12分）如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．

（1）求证：

DF∥平面ABC；

（2）求证：

AF⊥BD.

21.（12分）设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）中的a，b，c均为整数，且f（0），f

（1）均为奇数，求证：

方程f（x）＝0无整数根．

22．（12分）观察下表：

1，

2,3

4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14,15，

…

问：

（1）此表第n行的最后一个数是多少？

（2）此表第n行的各个数之和是多少？

（3）2008是第几行的第几个数？

第三章　推理与证明（B）

答案

1．B

2．A　[三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，所以结论正确．]

3．B

4．C　[由合情推理可归纳出1＋＋＋…＋<

（n≥2）．]

5．B　[利用类比思想结合向量的定义及性质，特别是向量的数量积的定义可知①正确，②③④不正确．]

6．C　[a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．因为2010＝3×

670，所以a2010＝.]

7．C　[正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．故选C.]

8．A　[分别令n＝1,2,3，

得

所以a＝，b＝c＝.]

9．C

10．D　[用反证法证题时一定要将对立面找全．在

（1）中应假设p＋q>

2.故

（1）的假设是错误的，而

（2）的假设是正确的，故选D.]

11．C　[由定义中的图形可知A对应|，B对应□（大框），C对应—，D对应▭（小框），故A*D应为|▭，A*C应表示＋.故选C.]

12．A　[f（x）＝x3＋x是奇函数，且在R上是增函数，由a＋b>

0得a>

－b，

所以f（a）>

f（－b），即f（a）＋f（b）>

0，

同理f（a）＋f（c）>

0，f（b）＋f（c）>

所以f（a）＋f（b）＋f（c）>

0.]

13．在四面体A—BCD中，G为△BCD的重心，

则＝（＋＋）

14．对于任意x1，x2∈R且x2－x1>

0，有f（x2）－f（x1）＝－x＋x＝－（x2－x1）（x＋x1x2＋x）

＝－（x2－x1）·

<

15.

解析　当n＝1时，1＝；

当n＝2时，3＝；

当n＝3时，6＝；

当n＝4时，

10＝；

…，猜想：

f（n）＝.

16．1

解析　由a2＋b2＋c2－（ab＋bc＋ca）

＝[2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca]

＝[（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2]≥0，

故①正确．

由－a（1－a）＝－a＋a2＝2≥0，

故②正确．

（a2＋b2）·

（c2＋d2）－（ac＋bd）2

＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2acbd－b2d2

＝a2d2＋b2c2－2abcd＝（ad－bc）2≥0，故④正确．

∵＋≥2或＋≤－2，∴③不正确．

17．证明　假设|f

（1）|<

，|f

（2）|<

，|f（3）|<

，

于是有－<

1＋a＋b<

①

－<

4＋2a＋b<

②

9＋3a＋b<

③

①＋③，得－1<

10＋4a＋2b<

所以－3<

8＋4a＋2b<

－1，

所以－<

－.

由②知－<

，矛盾，

所以假设不成立，即|f

（1）|，|f

（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于.

18．证明　要证原不等式成立，只需证明

>

2，

事实上，∵0<

x1，x2<

，x1≠x2，

∴－2

＝－－－＋

＝>

0.

∴>

即有lg>

lg2，

故[f（x1）＋f（x2）]>

19．证明　∵1＝a＋b≥2，∴ab≤.

∴（a＋b）＋ab＋≤1.

∴≤1.

从而有2＋2≤4.

即＋＋2≤4.

∴2≤4.

∴＋≤2.

20．证明　

（1）取AB的中点G，连接FG，CG，

可得FG∥AE，FG＝AE，

又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE，CD＝AE，

∴FG∥CD，FG＝CD.

又∵FG⊥平面ABC，

∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，CG⊂平面ABC，

DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.

（2）Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE的中点，∴AF⊥BE，∵△ABC是正三角形，

∴CG⊥AB，∴DF⊥AB，

又DF⊥FG，FG∩AB＝G，

∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，

又∵DF∩BE＝F，∴AF⊥平面BDF，

又BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.

21．证明　假设方程f（x）＝0有一个整数根k，

则ak2＋bk＋c＝0.①

因为f（0）＝c，f

（1）＝a＋b＋c均为奇数，

所以a＋b必为偶数，

当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），

则ak2＋bk＋c＝4n2a＋2nb＋c＝2n（2na＋b）＋c必为奇数，与①式矛盾；

当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），

则ak2＋bk＋c＝（2n＋1）（2na＋a＋b）＋c为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与①式矛盾，故假设不成立．

综上可知方程f（x）＝0无整数根．

22．解　

（1）由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n－1.

（2）由

（1）知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，

Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.

（3）因为210＝1024,211＝2048，又第11行最后一个数为211－1＝2047，所以2008是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2008＝1024＋（n－1）·

1，所以n＝985，所以2008是第11行的第985个数．