高一数学不等式性质检测试题Word文件下载.docx
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=(x2-1)2(x21),
二当X二1时,x6x4x2;
当X二1时,x61x4x2.
两个实数比较大小,通常用作差法来进行,其一般步骤是:
第一步:
作差;
第二步:
变形,常采用配方,因式分解等恒等变形手段;
第三步:
定号,贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步,一结论”,这里的“变形”一步最为关键.
典型例题三
例3X•R,比较(x1)(x2|1)与(x1)(x2x1)的大小.
分析:
直接作差需要将(xT)(x2•x•1)与(x-)(x2x1)展开,
过程复杂,式子冗长,可否考虑根据两个式子特点,予以变形,再作差.
(x1)(x2x■1)=(x1)(X2x—x1)
=(x1)(x2x1)-?
(x1),
2
AA
(x-)(x2X1)=(X1「—)(x2X1)
212
二(x1)(xX1)(xX1),
x1
二(x1)(X■■■「1)-(x)(xx1)
1211
(x■x1)x(x1)0.
222
则有x・R时,(x1)(x2•专T)•(x•1)(x2x1)恒成立.
有的确问题直接作差不容易判断其符号,这时可根据两式的特点考虑先变形,到比较易于判断符号时,再作差,予以比较,如此例就是先变形后,再作差.
典型例题四
1
=1—X;
1x
c1—x;
如本题作差,变形,变形到最简形式时,由于式中含有字
时要注意分类合理恰当.
典型例题五
例5比较1816与1618的大小
两个数是幕的形式,比较大小一般采用作商法。
1816
解:
1618
161/9、16
硬珂8)
16
(0,1)
82
16<
1,
1618>
0,1816V1618.
求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行.
典型例题六
例6设a>
0,b>
0,且a=b,比较:
aabb与abba的大小。
比较大小一般方法是求差法或求商法,利用不等式的性质
进行变形,然后确定大小。
baaba
乂ab>
0,ab>
ab
求商法的基本步骤是:
①求商,②变形,③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7实数a、b、c、
d满足条件:
①a:
b,c:
d:
②a-cb-c0;
③a-db-d:
0,则有()(天津市2001年南开中学期末试题)分析:
先由条件②③分析出a、b与c、d的关系,根据条件利用①用数轴数形结合比出大小.
Ta-cb「c0,二a、b与c同侧
•/a-db_d:
0,二a、b与d异侧
Ta:
b,c:
d
•••把a、b、c、d标在数轴上,只有下面一种情况
i■■I,
cadbX
由此得出c:
a:
b,•此题选D.
比较大小时可以借助于数轴,利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置,这样容易看出几个数之间的大小关系,尤其
是比较的个数较多时适用.
典型例题八
例8已知①-仁a:
②1乞a-bm3,求:
3a-b的取值范围.
此题是给代数式的字母的范围,求另外代数式的范围.分
为两步来进行:
(1)利用待定系数法将代数式3a-b用ab和a-b表
示.
(2)利用不等式性质及题目条件确定3a-b的范围.
设:
3a-b=x(ab)y(a-b)=(xy)a(x-y)b
x+y=3x=1
二』二V
&
一y=T3=2
由①+②X2得:
-12乞(ab)•2(a-b)乞132
此题的一种典型错误做法,如下:
—1乞ab乞1,1ma—b乞3,.0<
2a<
4,即:
0乞az2
丁一1兰a+b兰1,—3兰b—a兰一1
二一4兰2b兰0
即:
一2mb乞0
.0乞3a乞6,0<
2,
.0_3a-b_8
此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系,相互制约的量,而不是各自独立的,当ab取到最大值或最小值时,a—b不一定能取到最值,所以用以上方法可能扩大变量的范围.
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”,见解题过程.
典型例题九
例9判断下列各命题的真假,并说明理由.
(1)若ac2be2,则ab.
(2)若ab,则—■-.
ab
(3)若a:
b,e:
0,则e:
.-.
(4)若ab,ed,贝卩a-cb-d.
(5)若ab0,a•e,则a2be.
(6)若ab,mN.,则ambm.
利用不等式的性质来判断命题的真假.
11
(1)ac2Abe2二c2工Onc2>
0=a〉b,是真命题.
ac2>
be2
(2)可用赋值法:
a=3,b=_2,有丄丄,是假命题.
也可这样说明:
1一丄二口,
abab
Tab,只能确定b_a:
O,
但ab的符号无法确定,从而的符号确定不了,所以av无法得到,实际上有:
1ab,ab0=
a
ab,ab:
0二
假命题.
(4)取特殊值:
a=5,b=1,c=2,d=-3.
有a-c:
b-d,二是假命题.
定理3的推论是同向不等式可相加,但同向不等式相减不一定成立.只有异向不等式可相减,即ab,c:
d=a-cb-d.
a>
b>
0、2
戶a>
ab
(5)a>
0、,£
2>
bc,•••是真命题.
aac
》ab>
bc
0,
(6)定理4成立的条件为必须是正数.
举反例:
a=3,b=-4,m=2,则有am:
bm.
在利用不等式的性质解题时,一定要注意性质定理成立的
条件.要说明一个命题是假命题可通过举反例.
典型例题十
例10求证:
ab,——=a.0,b:
0.
把已知的大小关系转化为差数的正负,再利用不等式的性质完成推理.
证明:
利用不等式的性质,得
ab=a-b0
a,b异号匚a0,b<
例11
若ab,cd,
则卜面不等式中成立的个是(
)
(A)
adbc
(B)acbd
(C)
(D)d-a:
c-b
cd
由不等式的性质知:
(A)、(B)、(C)成立的条件都不充分,所以选(D),其实(D)正是异向不等式相减的结果.
ab二_a:
-bl-
=d-a:
c-b.
cd=d:
c
本的解法都是不等式性质的基本应用,对于不等式的基本性质要逐条掌握准确,以便灵活应用.
典型例题十二
例12若一1:
—:
1,则下面各式中恒成立的是().
(A)-2:
:
--:
0(B)-2:
「一-:
-1
(C)一1:
「--:
0(D)一1:
•--:
1
分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形,应看
到,已知条件中含有两个内容,即-1:
1,—1.;
••.;
•1和:
£
•『■,根据不等式的性质,可得-―<
1,帳-?
”0,继而得到一2:
「…:
2且:
--:
0,故-2:
•--:
0,因此选A.
典型例题十三
例13若abc,则一定成立的不等式是()
A错,当a〉b,c=0时有ac|=bc;
同样B错;
D没有考虑各数取零和正负号的关系,所以也不对.
故选C,因为不等式两边同时加上一个任意数(此题是-c),原不等式成立.
这类题可以采用特例法:
令c=0即得C成立.
典型例题十四
例14已知:
a>
b,e>
f,c:
0,求证:
f-acve-bc.
要证明的式子中,左右均为二项差,其中都有一项是两字母积的形式,因此在证明时,对两项积要注意性质的使用,对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理.
;
b,c>
0,.ac>
be,—acv「be.
又fve,•••由同向加性可得:
f-acve-be.
此题还可采用异向减性来处理:
fve,ac>
bc,f-acve-bc.做这类题过程并不复杂,关键是记准性质,并能正确地应用.
典型例题十五
例15已知集合I=R,A=<
x|x?
—5x-14<
0〉,B=耳丨x|=y-2,y乏A】求:
A-B.
要求A,B,需要先求集合A和B,从已知来看,A的范围容易求,B的元素由y・A可以推算,但在推算过程中,要注意运用不等式的性质.
x2-5x-14:
0且I=R,
.-2x7.
.A=如2-5x-14c0}=-2<
xv7】
yA,•-2:
y:
7.
-4y-2:
5.|xy-2,
-4:
|xp:
5,-|xp:
5.
-5-x:
B=阂一5x5.
A「B二{x-2:
x5}.
本题中的条件I二R,意在明确集合A中的元素为R,若去掉此条件,会出现不确定的情况.比如,—2:
x:
7的实数和一2:
7的整数显然是有区别的.另外,这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的,解题时,一定要看清.
典型例题十六
例16设a和b都是非零实数,求不等式ab和11同时成立的充ab
要条件.
本题是求两个不等式同时成立的充要条件,因此,这两个不等式不能分开来讨论.如果分开讨论,则ab成立的条件就是ab本身;
而11成立的条件则是a与b同号,且a:
b,但这个条件只是
11的一个充分条件,并且与第一个不等式ab是矛盾的.所以必
须研究这两个不等式同时成立的条件.显然,应该从求它们同时成立的必要条件入手.
先求ab,1■1同时成立的必要条件,即当ab,11同时
abab
成立时,a与