高一数学不等式性质检测试题Word文件下载.docx
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=（x2-1）2（x21）,
二当X二1时，x6x4x2；
当X二1时，x61x4x2.
两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是:
第一步：
作差；
第二步：
变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；
第三步：
定号，贵州省是能确定是大于0,还是等于0,还是小于0.最后得结论.概括为“三步，一结论”，这里的“变形”一步最为关键.
典型例题三
例3X•R，比较（x1）（x2|1）与（x1）（x2x1）的大小.
分析：
直接作差需要将（xT）（x2•x•1）与（x-）（x2x1）展开,
过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差.
（x1）（x2x■1）=（x1）（X2x—x1）
=（x1）（x2x1）-?
（x1）,
2
AA
（x-）（x2X1）=（X1「—）（x2X1）
212
二（x1）（xX1）（xX1）,
x1
二（x1）（X■■■「1）-（x）（xx1）
1211
（x■x1）x（x1）0.
222
则有x・R时，（x1）（x2•专T）•（x•1）（x2x1）恒成立.
有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差.
典型例题四
1
=1—X；
1x
c1—x；
如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字
时要注意分类合理恰当.
典型例题五
例5比较1816与1618的大小
两个数是幕的形式，比较大小一般采用作商法。
1816
解:
1618
161/9、16
硬珂8）
16
（0,1）
82
16<
1,
1618>
0,1816V1618.
求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行.
典型例题六
例6设a>
0,b>
0，且a=b，比较：
aabb与abba的大小。
比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质
进行变形，然后确定大小。
baaba
乂ab>
0,ab>
ab
求商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小.
典型例题七
例7实数a、b、c、
d满足条件：
①a：
b,c：
d:
②a-cb-c0;
③a-db-d：
0，则有（）（天津市2001年南开中学期末试题）分析：
先由条件②③分析出a、b与c、d的关系，根据条件利用①用数轴数形结合比出大小.
Ta-cb「c0，二a、b与c同侧
•/a-db_d：
0，二a、b与d异侧
Ta:
b,c:
d
•••把a、b、c、d标在数轴上，只有下面一种情况
i■■I,
cadbX
由此得出c:
a:
b，•此题选D.
比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其
是比较的个数较多时适用.
典型例题八
例8已知①-仁a：
②1乞a-bm3，求：
3a-b的取值范围.
此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围.分
为两步来进行：
（1）利用待定系数法将代数式3a-b用ab和a-b表
示.
（2）利用不等式性质及题目条件确定3a-b的范围.
设：
3a-b=x（ab）y（a-b）=（xy）a（x-y）b
x+y=3x=1
二』二V
&
一y=T3=2
由①+②X2得：
-12乞（ab）•2（a-b）乞132
此题的一种典型错误做法，如下：
—1乞ab乞1,1ma—b乞3,.0<
2a<
4，即：
0乞az2
丁一1兰a+b兰1,—3兰b—a兰一1
二一4兰2b兰0
即：
一2mb乞0
.0乞3a乞6,0<
2,
.0_3a-b_8
此解法的错误原因是因为a与b是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当ab取到最大值或最小值时，a—b不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围.
避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程.
典型例题九
例9判断下列各命题的真假，并说明理由.
（1）若ac2be2，则ab.
（2）若ab，则—■-.
ab
（3）若a:
b,e:
0，则e：
.-.
（4）若ab,ed，贝卩a-cb-d.
（5）若ab0,a•e,则a2be.
（6）若ab,mN.，则ambm.
利用不等式的性质来判断命题的真假.
11
（1）ac2Abe2二c2工Onc2>
0=a〉b，是真命题.
ac2>
be2
（2）可用赋值法：
a=3,b=_2，有丄丄，是假命题.
也可这样说明：
1一丄二口,
abab
Tab，只能确定b_a：
O,
但ab的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以av无法得到，实际上有:
1ab,ab0=
a
ab,ab:
0二
假命题.
（4）取特殊值：
a=5,b=1,c=2,d=-3.
有a-c：
b-d，二是假命题.
定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立.只有异向不等式可相减，即ab,c：
d=a-cb-d.
a>
b>
0、2
戶a>
ab
（5）a>
0、，£
2>
bc,•••是真命题.
aac
》ab>
bc
0,
（6）定理4成立的条件为必须是正数.
举反例：
a=3,b=-4,m=2，则有am:
bm.
在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的
条件.要说明一个命题是假命题可通过举反例.
典型例题十
例10求证：
ab,——=a.0,b：
0.
把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理.
证明：
利用不等式的性质，得
ab=a-b0
a，b异号匚a0,b<
例11
若ab,cd,
则卜面不等式中成立的个是（
）
（A）
adbc
（B）acbd
（C）
（D）d-a：
c-b
cd
由不等式的性质知：
（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分,所以选（D）,其实（D）正是异向不等式相减的结果.
ab二_a：
-bl-
=d-a：
c-b.
cd=d：
c
本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用.
典型例题十二
例12若一1：
—：
1，则下面各式中恒成立的是（）.
（A）-2：
：
--：
0（B）-2：
「一-：
-1
（C）一1：
「--：
0（D）一1：
•--：
1
分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看
到，已知条件中含有两个内容，即-1：
1，—1.；
••.；
•1和：
£
•『■，根据不等式的性质，可得-―<
1，帳-?
”0，继而得到一2:
「…:
2且:
--：
0，故-2：
•--：
0，因此选A.
典型例题十三
例13若abc，则一定成立的不等式是（）
A错，当a〉b,c=0时有ac|=bc;
同样B错；
D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对.
故选C,因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是-c），原不等式成立.
这类题可以采用特例法：
令c=0即得C成立.
典型例题十四
例14已知：
a>
b,e>
f,c:
0，求证：
f-acve-bc.
要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理.
；
b,c>
0,.ac>
be,—acv「be.
又fve,•••由同向加性可得：
f-acve-be.
此题还可采用异向减性来处理：
fve,ac>
bc,f-acve-bc.做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用.
典型例题十五
例15已知集合I=R,A=<
x|x?
—5x-14<
0〉，B=耳丨x|=y-2,y乏A】求：
A-B.
要求A，B，需要先求集合A和B，从已知来看，A的范围容易求，B的元素由y・A可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质.
x2-5x-14：
0且I=R,
.-2x7.
.A=如2-5x-14c0}=-2<
xv7】
yA,•-2：
y：
7.
-4y-2:
5.|xy-2,
-4：
|xp：
5,-|xp：
5.
-5-x:
B=阂一5x5.
A「B二{x-2：
x5}.
本题中的条件I二R，意在明确集合A中的元素为R，若去掉此条件，会出现不确定的情况.比如，—2：
x：
7的实数和一2：
7的整数显然是有区别的.另外，这里集合B的元素是通过集合A的元素求出的，解题时，一定要看清.
典型例题十六
例16设a和b都是非零实数，求不等式ab和11同时成立的充ab
要条件.
本题是求两个不等式同时成立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论.如果分开讨论，则ab成立的条件就是ab本身；
而11成立的条件则是a与b同号，且a：
b，但这个条件只是
11的一个充分条件，并且与第一个不等式ab是矛盾的.所以必
须研究这两个不等式同时成立的条件.显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手.
先求ab,1■1同时成立的必要条件，即当ab,11同时
abab
成立时，a与
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